1. Определение и простейшие свойства векторных пространств

Непустое множество V называется векторным

(линейным) пространством над полем P, если:

1) на V задана бинарная алгебраическая операция "+";

2) определено умножение элементов из V на элементы из P, т.е.

задано отображение P×V →V: (α,v)  α⋅v.

Эти операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам), выполняющимся для любых элементов x,y,z∈V и α,β∈P :

1. x+y=y+x (коммутативность).

2. (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность).

3. Существует элемент 0∈V такой, что 0+x=x+0 для любого x∈V.

Элемент 0 называется нулевым элементом (вектором).

4. Для каждого x∈V существует противоположный элемент −x , такой, что x+(−x)=0.

5. 1x=x.

6. (αβ)x=α(βx).

7. (α +β)x=αx+βx.

8. α(x+y)=αx+αy.

Элементы из V называют векторами, а элементы поля P – скалярами (числами). Совокупность аксиом 1–4 означает,

что множество V с операцией сложения "+" является абелевой группой.

Если даны два вектора x,y∈V , то под разностью

x−y будем понимать x−y=x+(−y).

Некоторые свойства векторных пространств:

1)Значение суммы комплексного числа векторов не зависит от порядка суммирования (например, по аксиоме 2).Поэтому операцию сложения векторов можно распростронить на любое конечное число векторов.

2)Произведение нулевого вектора на любое число  из основного поля равно нулевому вектору, т.е. 0=0. Действительно,

0=(0+0)=0+0.Следовательно,0=0-0=0.

3)Произведение любого вектора x на число 0 рано нулевому вектору,т.е. x0. Действительно,x0=x(0+0)=x0+x0,откуда:

x0=x0-x0=0.

4)Если αx=0,то либо α=0,либо х=0.В самом деле,если α  0, то

х =1х=[(1/α)α]х=(1/α)(αх)=(1/α)0=0.

5)Для каждого вектора х противоположный вектор равен произведению х на число -1, т.е. –х= -1х. В самом деле,

х+(-1)х=1х+(-1)х=(1-1)х=0х=0. Означает, что вектор (-х) является противоположным к вектору х.

6)Для любого вектора х и любого числа α выполняется равенство α(-х)=(-αх).Действительно,

α(-х)= α[(-1)х]= [α(-1)]х= (-1)(αх) =(-αх).

7)Для любых векторов х и у и любого числа α выполняется равенство α(х-у)= αх- αу.В самом деле,

α(х-у)= α[х+(-у)]= αх+ α(-у)= αх- αу.

8)Для любого вектора х и любых чисел α,β выполняется равенство

(α- β)х= αх- βх, так как

(α −β)x=[α +(−β)]x=αx+(−β)x=αx−βx.

2. Лиинейная зависимость векторов

Конечная система векторов х₁, … ,х_s называется линейно зависимой, если существуют, такие числа α ₁, … , α _s, не все равную нулю, что

у= α₁х₁ + … + α_sх_s.

В противном случае система векторов х₁ , …, х_s линейно независима.

Теорема 2.1 Если некоторая подсистема заданной системы векторов линейно зависима, то и вся система векторов линейно зависима.

Теорема 2.2 каждый вектор заданной системы векторов S линейно выражается через векторы любой ее максимальной линейно независимой подсистемы.

Д-во.

Пусть х₁, … ,х_n – максимально линейно независимая под система в системе векторов S и b – произвольный вектор в S.

Тогда α₁х₁ + … + α_nх_n + αb = 0 , α  0.

Так как α  0, то неравенство α₁х₁ + … + α_nх_n + αb = 0 можно преобразовать к виду

b = -( α₁/ α) х₁ - … - ( α_n / α) х_n , т.е. получить линейное выражение вектора b через вектор х₁, … ,х_n Теорема доказана.

Теорема 2.3(Основная теорема о линейной зависимости векторов)

Пусть даны системы векторов х₁, … ,х_r и y₁, … ,y_s, причем первая линейная зависимость выражается через вторую . Тогда число векторов в первой системе превышает числа векторов во второй, т.е. rs.

Теорема 2.3(теорема о рангах двух систем векторов)

Пусть даны две системы, причем ранг первой равен k, а ранг второй – r. Если первая система линейно выражается через вторую, то k  r. Если две системы эквивалентны, то k =r.