12.Системы линейных однородных уравнений. Существование ненулевого решения.
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
(1.19)
Такая система всегда совместна, так как этой системе удовлетворяют значения х1=х2=…=хn=0. Это решение системы называют тривиальным.Теорема. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных n.Доказательство. По теореме Кронекера-Капелли, если r=n, то система имеет единственное решение. А так как система (1.19) имеет всегда тривиальное решение, то в этом случае оно и единственно, то есть при r=n система имеет лишь тривиальное решение.При r<n система является неопределенной, то есть имеет бесчисленное множество решений, в том числе и нетривиальное.Замечание. Если m=n, то есть число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r<n в этом случае означает, что определитель системы, то есть det А=0, что следует из определения ранга матрицы.
Пример. Решить систему
Решение. Составим матрицу системы
и методом элементарных преобразований найдем ранг
r=2.
Выберем
в качестве базисного минор
Тогда
укороченная система имеет вид
Полагая х3=с1, х4=с2, находим х2=-6с1+5с2, а х1=-4с1+3с2+2(6с1-5с2)=8с1-7с2. Общее решение системы
(1.20)
Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения
13.Вектор,
как геометрический объект.Коллинеарные
и компланарные векторы.Координаты
вектора.Длина вектора.Направляющие
косинусы.Вектором
называется направленный отрезок.
Обозначается вектор
,
,
,
,
AB,
a
(А
– начало вектора, В
– его конец).Нулевым
вектором
(обозначается
)
называется вектор, начало и конец
которого совпадают.Расстояние между
началом и концом вектора называется
его длиной,
или модулем,
или абсолютной
величиной
(обозначается
,
).Векторы
называются коллинеарными,
если они расположены на одной прямой
или на параллельных прямых (обозначают
,
а также
,
если векторы сонаправлены, и
,
если они противоположно направлены).Векторы
называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или в
параллельных плоскостях. Два
вектора называются равными,
если они сонаправлены (
)
и имеют равные длины (
).
Обозначают
.
Для
каждого вектора
,
отличного от нулевого вектора, существует
противоположный
вектор, который обозначается
и
удовлетворяет условиям:
,
.
Рассмотрим
декартову прямоугольную систему
координат Oxyz.
Обозначим
,
,
–
единичные векторы,
направленные соответственно вдоль
осей Ox,
Oy,
Oz
(орты осей). Эти векторы называются
декартовым
прямоугольным базисом в
пространстве. Пусть
–
произвольный вектор в пространстве.
Перенесем его начало в точку O
(
)
и построим прямоугольный параллелепипед,
в котором вектор
является
диагональю (рис. 11). Тогда
,
где
,
,
–
составляющие вектора
по
осям Ox,
Oy,
Oz.
Но
,
аналогично
,
.
Рис. 11
Обозначая
,
,
,
получим
.
Это
равенство называется разложением
вектора
по
базису
,
,
,
а
числа
,
,
называются
координатами
вектора
в
этом базисе, или декартовыми прямоугольными
координатами вектора. Пишут
или
.
Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.
Зная координаты вектора, легко выразить его длину:
(2.2)
(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений).
Если
,
где
,
,
то
,
,
.
Тогда
,
или
–
(2.3)
так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца. Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует:
если
,
,
,
то
1)
,
,
–
равные векторы имеют соответственно
равные координаты;
2)
–
при сложении векторов их координаты
складываются, при вычитании – вычитаются;
3)
–
при умножении вектора на число его
координаты умножаются на это число;
Направление вектора в пространстве
определяется углами
,
которые вектор образует с осями координат
(рис. 12). Косинусы этих углов называются
направляющими
косинусами вектора:
,
,
.
Рис. 12
Из
свойств проекций:
,
,
.
Следовательно,
,
,
.
(2.5)
Легко показать, что
1)
;
2)
координаты любого единичного вектора
совпадают с его направляющими косинусами:
.
14.Линейные операции над векторами.Условие коллинеарности векторов, выраженное в координатах. Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
Сложение
векторов.
Пусть
и
–
два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку О
и построим вектор
;
затем от точки А
отложим вектор
.
Вектор
,
соединяющий начало первого слагаемого
вектора с концом второго, называется
суммой
этих векторов и обозначается
(рис.
1).
Рис. 1
Ту
же сумму можно получить иным способом.
Отложим от точки О
векторы
и
.
Построим на этих векторах как на сторонах
параллелограмм ОАСВ.
Вектор
–
диагональ параллелограмма – является
суммой векторов
и
(рис.
2).
Вычитание
векторов. Разностью
векторов
и
называется
такой вектор
,
который в сумме с вектором
дает
вектор
:
.
Если векторы и привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).
Рис.
4Таким образом, если на векторах
и
,
отложенных из общей точки О,
построить параллелограмм ОАСВ,
то вектор
,
совпадающий с одной диагональю, равен
сумме
,
а вектор
,
совпадающий с другой диагональю, –
разности
(рис.
5).
Рис. 5
Умножение
вектора на число. Произведением
вектора
на
действительное число
называется
вектор
(обозначают
),
определяемый следующими условиями:
1)
,
2)
при
и
при
.
Очевидно,
что при
.
Построим,
например, векторы
и
для
заданного вектора
(рис.
6).
Рис. 6
Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :
4)
,
,
,
то есть
–
(2.4)
координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
(2.1)
Свойства линейных операций:
1)
;
2)
;
3)
;
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
;
Разложение вектора по базису.
Определение.
Пусть
–
произвольный вектор,
–
произвольная система
векторов. Если выполняется равенство
,
(1)
то говорят, что
вектор
представлен
в виде линейной комбинации данной
системы
векторов. Если данная система
векторов
является
базисом векторного
пространства, то равенство
(1) называется разложением вектора
по
базису
.
Коэффициенты линейной комбинации
называются
в этом случае координатами вектора
относительно
базиса
.
Теорема. (О разложении вектора по базису.)
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.