- •Властивості віддалі. Означення метричного простору і найкращого наближення елемента множини метричного простору.
- •Приклади метричного простору, елементами яких є довільні об’єкти.
- •Лінійні простори. Приклади
- •Лінійні нормовані простори. Приклади. Властивості норми.
- •3. Неперервність норми.
- •4. Властивість рівномірної неперервності функціонала норми.
- •Евклідові простори.
- •Означення і приклади евклідових просторів.
- •Опуклі множини
- •Критерії опуклості множини:
- •Опуклі функціонали
- •Достатні умови опуклості функції від однієї змінної.
- •Теорема 1 (достатня умова строгої опуклості функції від однієї змінної в точці).
- •Критерії знаковизначеності матриць
- •Теорема 1 (критерії Сильвестра знаковизначеності і невизначеності матриць)
- •Достатні умови опуклості функції від багатьох змінних
- •Теорема 1 (достатня умова строгої опуклості функції від n-змінних)
- •1. Методом перерізів встановимо вид поверхні Якщо:
- •Нескінченна диференційовність добутку функцій і складної функції
- •Нерівність між середніми
Елементи функціонального аналізу і теорії наближення функцій.
Метричні простори.
Властивості віддалі. Означення метричного простору і найкращого наближення елемента множини метричного простору.
З шкільного курсу математики відомо, що віддаль між двома точками на прямій визначається так: ; на площині: і
в тривимірному просторі: .
З означення границі послідовності
випливає, що в цьому означенні фігурує поняття віддалі. Оскільки означення границі використовується при формулюванні багатьох понять математики, то поняття віддалі відіграє важливу роль в усіх розділах математики.
О1. Нехай . Віддаллю між елементами множини називається відображення , тобто дійсну функцію від двох дійсних змінних, яка задовільняє аксіоми Лінденбаума: І. ; ІІ. .
Властивості віддалі.
Теорема про невід’ємність і симетричність віддалі.
Віддаль між будь-якими двома елементами невід’ємна і симетрична, тобто:
а) ; б) .
Доведемо твердження б.
Покладемо . Тоді, використовуючи аксіоми Лінденбаума, маємо:
(1).
Якщо замінити на то аксіому І можна записати так:
(2).
Покладемо . Тоді з нерівності (2), використовуючи аксіоми Лінденбаума, одержимо:
(3).
З (3) і (1) випливає, що .
Доведемо твердження а.
Покладемо . Тоді, використовуючи аксіоми Лінденбаума, маємо:
.
Теорему доведено.
О2. Метричним простором називають непорожню множину, для елементів якої введено поняття віддаль і позначають .
Термін метричний простір ввів французький математик Фреше 1919 р., а «три» аксіоми простору — німецький математик Хаусдорф.
З аксіоми I Лінденбаума і симетричності віддалі випливає нерівність трикутника . Доведемо узагальнену нерівність трикутника.
.
Доведення проведемо методом математичної індукції.
1. Перевіримо істиність нерівності при , тобто . . Остання нерівність є нерівністю трикутника.
2. Припустимо, що нерівність істина при , тобто .
3. Доведемо, використовуючи припущення і нерівність трикутника, що нерівність істина при , тобто
Використовуючи нерівність трикутника і припущення, маємо: . Позначимо через
Доведемо, що простір.
Перевіримо виконання аксіоми II.
З (1) за означенням рівності послідовностей випливає, що . Отже виконується аксіома ІІ Лінденбаума.
Перевіримо виконання аксіоми І. Доведемо нерівність
(І)
I спосіб. Нехай , де . Тоді
Тому, згідно з достатньою умовою монотонності функції, функція строго зростаюча на проміжку . Використовуючи монотонність функції і властивості модулів, одержимо:
Нерівність І доведена.
ІІ спосіб. Нерівність (І) рівносильна нерівності
Використовуючи нерівність I одержимо:
Основні задачі теорії наближень зводяться до знаходження віддалі від елемента x до множини F метричного простору, тобто до знаходження величини , яку називають найкращим наближенням елемента x множиною F і позначають і до знаходження віддалі між двома множинами , яку називають найкращим наближенням множини М множиною F і позначають .
Приклади метричного простору, елементами яких є довільні об’єкти.
Нехай Доведемо, що простір , який називають простором ізольованих точок, метричний. Перевіримо виконання аксіоми І Лінденбаума, тобто Використовуючи означення віддалі в просторі ізольованих точок, маємо:
а)
б) .
в) . Інших випадків для елементів множини бути не може. Отже аксіома І Лінденбаума виконується.
Використовуючи означення віддалі в просторі ізольованих точок, одержимо:
. Отже виконується аксіома ІІ Лінденбаума, і простір ізольованих точок метричний.
Нехай простір - метричний і . Доведемо, що простір - метричний.
Перевіримо виконання аксіоми I Лінденбаума. Використовуючи нерівність I і аксіому Лінденбаума для простору , одержимо:
. Отже виконується аксіома І Лінденбаума. Використовуючи означення віддалі в просторі і аксіому ІІ Лінденбаума, маємо: . Отже виконується аксіома ІІ Лінденбаума, і простір - метричний.