1.3 Системы счисления, применяемые в эвм

В цифровых электронных вычислительных машинах наиболь­шее применение получила позиционная система счисления с ос­нованием два. Применение в ЭВМ двоичного алфавита обусловлено рядом его преимуществ перед другими ал­фавитами. Отметим следующие основные преимущества двоич­ного алфавита:

а) для представления каждой буквы алфавита в электронном устройстве отводится оп­ределенный поддиапазон некоторой физической переменной (например, тока или напряжения). За счет помех и погрешностей измерения возникают ошибки пред­ставления информации этой переменной. Нетрудно показать, что эти ошибки будут минимальными при использовании двух поддиапазонов, т. е. при двоичном алфавите;

б) применяя двоичный алфавит, можно наиболее просто орга­низовать процессы записи, хранения и считывания информации (каждому из двух символов (0 и 1) можно поставить в соот­ветствие, например, открытый или закрытый транзистор, намаг­ниченный или размагниченный сердечник, наличие или отсутствие импульса и т. д.);

в) как будет показано дальше, арифметические и логические операции над двоичными числами выполняются весьма просто.

Тем не менее наряду с двоичной системой счисления в вычислительной технике находят применение восьмеричная, шестнадцатеричная и двоично-десятичная системы счисления. В частности, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются в текстах программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов команд, адресов и операндов. Кроме этого, эти системы применяются в ЭВМ при некоторых формах представления чисел.

Двоично-десятичная система счисления с основанием 10 от­личается от обычной 10-ичной системы счисления только способом изображения цифр. В двоично-десятичной системе каждая десятичная цифра представляется двоичным числом (тетрадой двоичных цифр):

257₍₁₀₎ = 0010 0101 0111_(2-10).

2 Методы перевода чисел

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления, поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Замечание: Перевод отрицательных чисел производится так же, как и перевод положительных (то есть, сводится к переводу модуля числа и приписыванию к полученному числу нужного знака).

1. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Перевод чисел из Q-ичной системы счисления (Q – основание системы счисления, отличное от 10) в десятичную основан на использовании полинома (1):

11010011₍₂₎ = 12⁷ + 12⁶ + 02⁵ + 12⁴ + 02³ + 02² + 12¹ + 12⁰ =

= 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 211₍₁₀₎;

1АС5₍₁₆₎ = 116³ + А16² + С16¹ + 516⁰ = 4096 + 2560 + 192 + 5 =

= 6853₍₁₀₎.

Аналогичным образом выполняют перевод и дробных чисел.

2. Перевод из десятичной системы счисления в Q-ичную

При рассмотрении правил перевода нужно учитывать, средствами какой арифметики должен быть выполнен перевод, то есть в какой системе счисления должны быть выполнены все необходимые для перевода действия. Условимся считать, что перевод должен осуществляться средствами десятичной арифметики.

Перевод целых чисел. Чтобы перевести целое число из десятичной системы счисления в систему счисления с основа­нием Q, необходимо разделить это число на Q. Остаток даст младший разряд числа в новой системе счисления. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на Q - остаток даст следующий разряд числа и т.д. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания новой системы счисления (т.е. Q). Число в системе счисления с основанием Q представится последовательностью остатков от деления в порядке, обратном их получению, причем старшую цифру числа в системе счисления с основанием Q дает последнее частное.

Заметим, что поскольку все операции выполняются в десятичной системе счисления, то все остатки будут получены также в десятичной системе счисления. Поэтому их необходимо записать цифрами из алфавита Q-ичной системы счисления.

Примеры:

Перевести число 47 в двоичную систему счисления.

47 : 2 = 23 : 2 = 11 : 2 = 5 : 2 = 2 : 2 =

23 (1) 11 (1) 5 (1) 2 (1) 1 (0)

47₍₁₀₎ = 101111₍₂₎

Перевести число 3 060 в шестнадцатеричную систему счисления.

3060 : 16 = 191 : 16 =

191 ( 4) 11 (15)

3 060₍₁₀₎ = В F 4₍₁₆₎

Перевод дробных чисел:

а) перевод правильной дроби (то есть 0 <  Х  < 1).

Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в Q-ичную ее необходимо умножить (по правилам десятичной арифметики) на Q. Целая часть полученного произведения будет первой (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) цифрой числа в новой системе счисления. Дробную же часть произ­ведения необходимо вновь умножить на Q. Целая часть полученного произведения будет следующей цифрой и т.д. Этот процесс продолжается до тех пор, пока дробная часть получаемых произведений не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность изображения числа в Q-ичной системе счисления. Если, например, требуемая точность равна Q^-k, то число последовательных произведений равно k.

Пример:

Перевести число 0,2 в двоичную систему счисления.

	0,2 х 2
= 0 = 0 = 1 = 1	4 х 2 8 х 2 6 х 2 2

Таким образом: 0.2₍₁₀₎ = 0. (0011)₍₂₎

б) перевод неправильной дроби выполняется отдельно для целой части и для дробной части числа по правилам, рассмотренным ранее.