Центральное и параллельное проецирование

Aп

S

A

Геометрической фигурой называют любое множество точек. Геометрических фигур существует много, но основных только три - точка, прямая (линия) и плоскость. В начертательной геометрии все фигуры и предметы отображаются на плоскость двумя основными способами: центральным проецированием и параллельным проецированием. Чтобы получить цетральные проекции, необходимо задаться плоскостью проекций 1 и центром проекций – точкой S, не лежащей в этой плоскости. Чтобы спроецировать некоторую точку А пространства на плоскость П нужно через центр проецирования S и точку А провести прямую (проецирующий луч) до пересечения ее с плоскостью П в точке Aп. Точку Ап называют центральной проекцией точки А

Метод центрального проецирования достаточно сложен и в

значительной мере искажает форму и размеры оригинала, так как

не сохраняет параллельности прямых и отношения отрезков. По этому на практике чаще пользуются методом параллельного проецирования. Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования с бесконечно удаленным центром проекций. Осуществляется оно пучком параллельных проецирующих лучей заданного направления. Пусть требуется построить параллельную проекцию кривой k на плоскость П₁(рис.1.2). Спроецируем в направлении s все точки кривой k на плоскость П₁. Чтобы спроецировать точки указанной кривой, например А, В, С, нужно провести через них прямые, параллельные направлению s, до пересечения с плоскостью П₁. Точки пересечения A₁,B₁,C₁ проецирующих лучей с плоскостью П₁ и будут параллельными проекциями точек А, В и С. Таким образом можно построить проекции множества точек кривой k. В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости проекций П₁ различают два вида параллельных проекций: косоугольную, когда проецирующие лучи не перпендикулярны к плоскости П₁ (рис. 1.2, кривая k), и прямоугольную (или ортогональную), когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций (рис.1.2, прямая а). Несмотря на то, что параллельное проецирование по сравнению с центральным дает меньшую наглядность, параллельные проекции, особенно ортогональные, обладают удобоизмеримостью и простотой построения. Поэтому ортогональное проецирование широко распространено в технике и является основным методом начертательной геометрии.

Свойства параллельного проецирования

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, а также возникают следующие новые свойства.

1. Проекции параллельных прямых параллельны между собой, т.е., если а //b, то a₁ // b₁. Пусть отрезки АВ и DE параллельны (рис. 1.3), тогда проецирующие плоскости AA₁BB₁ и DD₁E₁Eбудут также параллельны. Следовательно, линии A₁B₁ и D₁E₁ пересечения этих плоскостей с П₁ будут параллельны.

2.Отношение отрезков, принадлежащих параллельным прямым или одной прямой, равно отношению проекций этих отрезков, т.е., если AB // DE, то D AB / DE = D A₁B₁ / D₁E₁

3. При параллельном перемещении плоскости проекций проекция фигуры не изменяется. Если П₁П₂, то D A₁B₁C₁ = D A₂B₂C₂ (рис.1.4).

 Рис. 1.2  Рис.1.3

 Рис.1.4   Рис.1.5