35. Начальные и центральные моменты высших порядков.

Начальные моменты НСВ. св-ва начальных моментов 1 порядка.

Начальным моментом К-го случайной величины X называется число.

Свойства 1-го порядка (мат ожидание):

Размерность мат. Ожидания совпадает с размерностью самой случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины всегда больше наименьшего значения и меньше наибольшего.

Свойства:

1) MC=C C=const

2) M(с ξ) = с Mξ

3) M (ξ + η ) = M (ξ )+ M (η)

4) если ξ и η независимы, то M(ξη) = Mξ *Mη.

5) |M ξ| ≤ M |ξ|

6) M(a ξ +b)=aM ξ +b; ξ≤a →Mξ ≤a

Центральные моменты НСВ. св-ва центр мо-тов 2 порядка.

Центральным моментом К-го порядка называется начальный момент К-го порядка случайной величины X’

Свойства 2-го порядка (дисперсия):

Дисперсия случайной величины всегда величина положительная.

Размерность дисперсии равна квадрату разности случайной величины.

Свойства:

1) Dc=0 c=const

2)

3) Если ξ и η независимы, то

4)

36. Коэффициенты асимметрии и эксцесса

37. Нормальный закон распределения и правила трех сигм

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Нормальным называется распределение случайной величины Х если ф-ция плотности распределения

Полученное выражение через элементарные функции не может быть выражено, такая функция так называемый интеграл вероятности для которой составлены таблицы, чаще всего в качестве такой функции используют

Правило трёх сигм

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.

            Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

            Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

            Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

            Это правило называется правилом трех сигм.    На практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

39. Двумерные непрерывные случайные величины.

43. Виды сходимости последовательности случайных величин.

Бесконечная последовательность СВ X_n, n = 1,2, ..., определенная на одном пространстве элементарных событий Ω, называется случайной последовательностью (случайным процессом с дискретным временем) и обозначается {X_n}, n = 1,2,... .

46. Центральная предельная теорема теории вероятности.

Центральная предельная теорема.

Последовательность CB сходятся к СВ ξ по распределению если последовательность Пусть -- последовательность независимых одинаково распределенных с.в. с конечной дисперсией. Обозначим и . Тогда

где -- функция распределения стандартного нормального закона.

Обозначим . Тогда , . Следовательно, утверждение ЦПТ может быть записано в виде

41. Коэффициент ковариации и его свойства.

38. Двумерные дискретные случайные величины.

10. Свойства функции распределения.

40. числовые характеристики системы двух случайных величин.

42. Коэффициент корреляции и его свойства.

50.Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко.

44. Неравенство Чебышева.

48. Линейная среднеквадратичная регрессия.

9.Функция распределения случайной величины

3. Вероятность событий. Свойства вероятности.

Свойства:

8. Случайная величина. Определение. Пример.

22. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

49. Случ.выборка. Понятие статистики. Вариационный ряд.

45. Закон больших чисел для сумм независимых случайных величин.

- независимые, одинаково распределены

если , то для сколь угодно малого,

Доказательство:

Применим неравенство Чебышева:

51. Выборочное среднее значение и выборочная дисперсия. Сходимость к теоретическим значениям.

Выборочное среднее значение

Выборочная дисперсия

52. Выборочный коэффициент ковариации.

53. Выборочный коэффициент корреляции.

54. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания нормального распределения.

Требуется определить интервал , который бы содержал внутри себя неизвестное значение а с вероятностью γ.

- доверительный интервал с коэффициентом доверия γ.

24. Дифференциальная и интегральная функции Гаусса.

Когда npq>9: Теорема: предположим, что 0<p<1, тогда x_k=(k-np)/npq; |x_k|<=C=const. p_n(k)=C_n^kp^kq^n-k; n: p_n(k)=(1/2)(1/npq)e (1+_n(k)); |_n(k)|<=C/n; Пусть (x)=(1/2)e , тогда p_n(k)(1/npq)(x_k). Ф-ция (x) назыв. дифференц. ф-цией Гаусса: (x)=(1/2)e . p_n(k₁,k₂)=_k=k1^k2p_n(k).

Теорема: _n – Бернулиевская случ. величина, _n{0,1,2,…,n}; p{_n=k}=p_n(k); E_n=np; D_n=npq; =D_n=npq; Пусть -<a<=b<, тогда при n вер-ть того, что a<=(_n-np/npq)<=b стремится к: (1/2)_a^be dx=_a^b(x)dx, т.е.: p{a<=(_n-np/npq)<=b}(1/2)_a^be dx=_a^b(x)dx. Ф(x)=(1/2)_-^xe dt=_-^x(t)dt, где Ф(x) – интегральная ф-ция Гаусса. (x)=Ф’(x)(производная от интегр. ф-ции). Выразим _a^b(x)dx через Ф(x): график интегр. ф-ции Гаусса:

_a^b(x)dx=_-^b(x)dx-_-^a(x)dx=Ф(b)-Ф(a). Интегральная теорема Муавра-Лапласа может быть записана так (через интегральную ф-цию Гаусса): Ф(b)-Ф(а). p{a<(_n-np/npq)<=b}Ф(b)-Ф(а). Применим теорему к вычислению суммы: p{k₁<=_n<=k₂}=_k=k1^k2C_n^kp^kq^n-k=p{(k₁-np/npq)<= (_n-np/npq)<= (k₂-np/npq)}Ф((k₂-np/npq))-Ф((k₁-np/npq)). Значения интегральной ф-ции Гаусса (дифференц. ф-ции Гаусса) при всех допустимых значениях аргумента X можно найти в любом учебнике по теорверу.