11)Линиия пересечения двух плоскостей общего положения:

     

В предлагаемом примере плоскость Т задана треугольником АВС, а плоскость Р - двумя параллельными прямыми d и l. Для решения этой задачи достаточно определить две точки, которые одновременно принадлежат обеим плоскостям. В приведенном примере такими точками являются точки K и L. Таким образом, KL -линия взаимного пересечения заданных плоскостей. Тчк К найдена как точка пересечения прямой d, которая принадлежит плоскости Р, с плоскостью Т, заданной треугольником АВС (K=d∩T(ΔABC)). Точка L найдена как точка пересечения прямой l, принадлежащей плоскости Р, с плоскостью Т, заданной треугольником АВС(L=l∩T(ΔABC)). Заключительным этапом решения задач на взаимное пересечение плоскостей является определение взаимной видимости частей плоскости относительно друг друга. Для определения взаимной видимости используют конкурирующие точки - 1 и 5, 7 и 6.

12) Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, принадлежащие этой линии. Задача упрощается, если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение. В этом случае ее вырожденная проекция включает в себя проекцию линии пересечения плоскостей.

На рис. 122 приведен комплексный чертеж двух пересекающихся плоскостей £ и 0, причем плоскость Sum частного положения — фронтально проецирующая. Она пересекает линии АВ и АС плоскости 0, данной треугольниками ABC — плоскости общего положения. Точки пересечения 1 и 2 и определяют линию пересечения плоскостей. Соединив их, получаем искомую линию: a(1, 2) = Sum^Q.

Линию пересечения двух плоскостей, занимающих общее положение, можно построить в исходной системе плоскостей проекции. Для этого дважды решают задачу на построение прямой одной плоскости со второй плоскостью. Задачу можно решать в новой системе плоскостей проекции, построив изображение одной из пересекающихся плоскостей как плоскости проецирующей.

На рис. 123, а построена линия пересечения двух треугольников ABC и DEF путем построения точки М пересечения линии АВ с плоскостью DEF и точки N пересечения линии EF с плоскостью АВС:

1) АВ ~ Sum¹(Sum¹_|_П₂), Sum¹ ^DEF=l -2(1₂—2₂; 1₁—2₁), 1₁—2₁ ^ А₁B₁ = М_1, M₁,M₂ || А₁A₂,М₁М₂ ^ А₂В₂ = М₂,М(М,М₂);

Рис. 122

Рис. 123

2) EF ~ Sum²(Sum²_|_П₂), Sum² ^ ABC = 3—4(3₂—4₂; 3₁—4₁),3₁-4₁ ^ E₁F₁= = N₁, N₁N₂ || A₁,A₂; N₁N₂^ E₂F₂ = N₂; N(N₁,N₂);

3) M₁ U N₁, = M₁N₁, M₂ U N₂ = M₂N₂;

4) ABC^DEF = MN.

После построения определяют видимость пересекающихся плоскостей. На фронтальной плоскости она определена с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 5. Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций использованы горизонтально конкурирующие точки 6 и 7.

На рис. 123, б эта же линия пересечения построена с помощью дополнительных проекций данных плоскостей на плоскости П₄, относительно которой плоскость DEF занимает проецирующее положение. Дополнительные проекции построены из условия, что горизонталь h ? DEFпроецируется в точку на плоскости П₄ _|_ h. Новые линии связи проведены .через незаменяемые горизонтальные проекции точек А,

В, С, D, E, F параллельно h₁, а новая ось проекций П₁/П₄ _|_ h₁. Замеренные на плоскости П₂ высоты точек определили их проекции на плоскости П₄.

A₄B₄C₄^ D₄E₄F₄ = M₄K₄, так как А₄В₄ ^ D₄E₄F₄ = М₄ и В₄С₄ ^ D₄E₄F₄ = = К₄. По направлению новых линий связи определяем горизонтальную проекцию линии МК (М₁К₁). Отмечаем точку пересечения стороны EF c линией МК: E₁F₁ ^ M₁K₁ = N₁. Точки отрезка NK не имеют общих точек с плоскостью DEF.

Пересекающиеся плоскости в частном случае могут быть перпендикулярными. Для выявления случаев перпендикулярности надо помнить, что если две плоскости взаимно перпендикулярны, то одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. На рис. 122 дан комплексный чертеж взаимно перпендикулярных пересекающихся плоскостей: одна фронтально проецирующая Sum (Sum₂), а вторая — общего положения(ABC) — содержит в себе перпендикуляр АВ к плоскости Sum(AB||П₂; A₂B₂Sum₂).

Две плоскости в общем случае могут пересекаться в бесконечности. Тогда имеет место параллельность этих плоскостей. При выявлении этого случая следует учитывать, что у параллельных плоскостей две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рис. 91 плоскость S параллельна плоскости Sum₂, так как а || с, b || d.

13) Под позиционными задачами будем понимать задачи по определению общих элементов геометрических фигур. К ним относятся задачи на принадлежность и задачи на пересечение геометрических фигур.  Задачами на принадлежность являются задачи на построение проекций: точек на линии или поверхности, линий на поверхности, линий и поверхностей, проходящих через заданные точки и линии.  В этом разделе будут рассмотрены методы решения задач на примере прямых линий и плоскостей. Параллельные прямые будем рассматривать как пересекающиеся в бесконечно удаленной (несобственной точке).  Прямая, параллельная плоскости, пересекает ее в бесконечно удаленной (несобственной) точки. Параллельные плоскости пересекаются по несобственной (бесконечно-удаленной) прямой.  В этой главе не рассматриваются метрические характеристики фигур (длины отрезков, площади, плоских фигур, углы и др.). Этому будет посвящена отдельная глава.