Способы образования чертежей

Перспектива, аксонометрия и ортогональные проекции имеют одну и ту же геометрическую основу. В общей теории геометрического моделирования и проективной геометрии они не различаются, как отдельные виды проекций. Это необходимо учитывать, так как абсолютизация частых различий между рассматриваемыми видами проекции ошибочно приводит к их слишком резкому разграничению и не всегда  верным выводам относительно их свойств и возможностей. Чертёж – совокупность изображения с дополнительным условием или с ещё одним изображением, позволяющая установить точечное взаимно однозначное соответствие объекта с его изображением. Изображения, не устанавливающие такого соответствия, называют необратимыми изображениями или рисунками.     В технике и архитектуре наиболее часто применяют чертежи с числовыми отметками, перспективные, аксонометрические и чертежи взаимно ортогональных видов.

В технике под проецированием понимают пространственную операцию, выполнение которой возможно при наличии центра  проецирования S, плоскости проекций П и объекта проецирования. Проецирование осуществляют не только прямыми, но и кривыми линиями. Для прямолинейного проецирования используют связку лучей, проходящих через одну точку S  - центр проецирования. В зависимости от расположения центра проецирования и плоскости проекций проецирование может быть центральным и параллельным.

Знание свойств проекций необходимо при изображении пространственных фигур на плоскости, определение свойств фигур по их изображениям, решении задач, связанных с  определением размеров, формы и взаимного расположения фигур. При этом следует помнить, что свойства более общего вида справедливы для частных видов. Например, свойства центрального проецирования справедливы для параллельного и прямоугольного, свойства параллельного проецирования справедливы и для прямоугольного. Однако свойства частных видов проецирования нельзя распространять на более общие.

         В начертательной геометрии при обосновании образования различных видов чертежей используют главным образом два принципа. Принцип однокартинного чертежа заключается в том, что для получения чертежа используют одно изображение, которое дополняют условием, определяющим расстояние каждой точки объекта от плоскости проекций по направлению проецирующего луча.  Наиболее простой иллюстрацией получения такого чертежа может служить схема построения чертежа с числовыми отметками. В этом случае использовано прямоугольное проецирование, а расстояния точек от плоскости проекций указаны в числах определённого масштаба. Точки, расположенные под плоскостью чертежа, имеют отметки со знаком «минус». Чертежи с числовыми отметками используют главным образом при изображении земляных инженерных сооружений.

Принцип двух изображений состоит в том, что помимо одного изображения объекта используется и второе его изображение, построенного из другого центра проецирования. Этот принцип положен в основу трёх способов построения чертежей: перспективы, аксонометрии и метода ортогональных проекций.

Чертёж в перспективных проекциях содержит два изображения: наглядное, полученное на плоскости чертежа (картине) центральным проецированием и называемое перспективой объекта, и вспомогательное, полученное прямоугольным проецированием объекта на вспомогательную плоскость проекций с последующим центральным проецированием на плоскость картины. Вспомогательное изображение называют перспективой основания фигуры, перспективой её плана или перспективой опущенного плана. Исходными данными для построения перспективного чертежа объекта являются его план и фасад или вид слева, т.е. основные виды ортогонального чертежа, полностью определяющие объект проецирования.

В зависимости от расположения боковых граней объекта относительно картинной плоскости различают фронтальную перспективу, когда передняя грань объекта параллельна картине, и угловую, когда объект проецирования повёрнут к картине под некоторым углом. Для построения перспективных чертежей пользуются несколькими способами. Из них наиболее распространён радиальный и способ архитекторов.

Перспективные изображения наиболее наглядны, однако они менее других удобны для измерения. Применяют перспективные изображения в архитектуре, живописи, художественном конструировании промышленных изделий. Аксонометрия – способ  построения наглядных изображений, получаемых в результате параллельного проецирования. Слово «аксонометрия» означает измерение по осям. Поэтому при построении аксонометрических проекций изображаемую фигуру или деталь проецируют совместно с  отнесённой к ней системой координатных осей Охyz, оси системы располагают параллельно основным измерениям проецируемого объекта. Аксонометрический чертёж содержит два изображения, одно из которых наглядное -  аксонометрическое, а другое – вспомогательное, необходимое для построений наглядного изображения. В зависимости от угла α наклона проецирующих лучей к плоскости чертежа аксонометрия подразделяется на два вида – косоугольную и прямоугольную.

В зависимости от величин показателей искажения как косоугольные,  так и прямоугольные аксонометрические проекции делятся на три вида: изометрию, диметрию и триметрию.

Чертежи, выполняемые в аксонометрических проекциях, обладают достаточной наглядностью и измеримостью. Поэтому их широко применяют в технической практике.

Основным видом проекций, применяемых в машиностроительных чертежах, являются ортогональные проекции, так как эпюр Монжа позволяет непосредственно получить неискожённые изображения фигур, расположеных  в трех взаимно перпендикулярных плоскостях (или им поралельных) при соответсвующем расположении оригинала относительно плоскостей проекций.

Ортогональный чертеж способен полностью обеспечить моделирование геометрической формы предмета, однако в ряде случаев он оказывается недостаточным в смысле простоты построения наглядных изображений.

Не приводя полностью общеизвестных сравнений рассматриваемых видов проекций по требованиям  обратимости, удобоизмеримости, точности и простоты построений,  остановимся на их характеристике с точки зрения наглядности.

Аксонометрические изображения широко применяют в науке, технике и промышленности, особенно в области художесвенного конструирования и промышленной эстетики. Они легко читаются и по ним можно быстро уяснить конструкцию объекта и формы отдельных деталей. Например, аксонометрией пользуются: при изучении различных устройств, монтаже, наладке станков, аппаратов приборов, в процессе сборки, сварки и монтажа секций и блоков различных сооружений; для наглядного изображения  различных схем (кинематических, пневматических, гидравлических и пр.); с учебными и демонстрациоными целями  (в процессе  изучения общетехнических и специальных дисциплин, при прохождении производственной практики, выполнении курсовых и дипломных проектов).

Такие изображения зачастую приводятся в иллюстрациях учебных и наглядных пособий, технической и справочной литературы. Аксонометрические проекции – это научные, технические, познавательно-аналитические изображения предметов, которые используются для научной изобразительной   цели.

Аксонометрия  есть ничто иное, как простой и практически удобный способ построения наглядных изображений. Сущность этого способа заключается в использовании аксонометрических осей  и аксонометрических масштабов. Проще всего можно построить прямоугольные изометрические проекции, так как показатель искажения по всем трём осям одинаковый.  В этом основное преимущество изометрических изображений. Однако при изображении детали, включающих четырехугольные призмы и пирамиды, их наглядность уменьшается. В таких случаях нагляднее будут изображения в диметрических проекциях.

Наглядность чертежа зависит не от вида проекции, а, прежде всего от положения изображаемого предмета относительно глаза зрителя и плоскости проекций. Аксонометрические проекции по простоте решения задач на чертеже занимают промежуточное положение между перспективой и эпюром  Монжа.

Простота построений довольно сильно зависит от вида в аксонометрии.

         Из двух видов прямоугольных аксонометрических проекций, рекомендуемых ГОСТ 2.317-80, изометрию лучше применять тогда, когда все три видимые стороны предмета имеют примерно одинаковое количество особенностей, необходимых для характеристики изображаемого предмета.

         Наглядность чертежа становится необходимой с двух сторон: для лучшего понимания конструкции сложного объекта и для более полной оценки внешнего вида изделия на основе привычного и по этому легко воспринимаемого зрительного образа. Здесь на первый план выступает сфера чувственного восприятия и зрительного представления.

         Параллельные проекции (изображения) соответствуют рассматриванию предмета с бесконечно большого расстояния, что на практике не осуществимо, но эта условность сравнительно легко принимается человеком, хотя далеко не во всех ситуациях. Ни каких других различий между центральными и параллельными проекциями в смысле наглядности изображений нет.

Кроме того, исходя из сущности явления и понятия наглядности, необходимо  отметить, что наглядность вообще не может быть прямо отнесена к геометрическим свойствам того ил и другого вида проекций. Ортогональный чертёж является исходным при построении наглядного изображения – аксонометрии или перспективы; общие методы решения позиционных задач во всех трёх видах проекций – одинаковы.

3.

Эпюр — (от франц. epure — чертеж), чертеж, на котором пространственная фигура изображена методом нескольких (по ГОСТу 3, но не всегда) плоскостей. Обычно оно даёт 3 вида: фронтальную, горизонтальную и профильную проекции. Чертеж проецируется на взаимно перпендикулярные, а затем развернутые плоскости.

Система двух плоскостей проекции

рис.1 Система двух плоскостей проекций: а – расположение плоскостей проекций; б – совмещение плоскостей проекций

В данном случае, для построения изображения в двух плоскостях проекций, горизонтальная плоскость проекций П₁ и фронтальная плоскость проекций П₂ совмещаются в одну, как показано на рис.1. В пересечении они дают ось проекций x и делят пространство на четыре четверти (квадранта).

4.

До сих пор мы рассматривали ортогональные проекции точки на комплексном чертеже. Теперь рассмотрим комплексный чертёж линии. Комплексный чертёж линии представляет собой совокупность проекций точек этой линии на две или три плоскости проекций. На комплексном чертеже необходимо установить связь между проекциями точек. В этом случае линия будет определена однозначно. 

 По расположению относительно плоскостей проекций прямые могут быть общего и частного положений.  Прямой общего положения называется прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций.

 Рассмотрим схему построения ортогонального чертежа прямой линии. Так как две точки однозначно определяют положение прямой в пространстве, то нам достаточно задать на комплексном чертеже проекции двух точек, принадлежащих прямой и попарно соединить их первые, вторые и третьи проекции.

Например, возьмём прямую m общего положения, заданную двумя точками А и В. Построим ортогональные проекции отрезка АВ на плоскости П1, П2, П3. Соединив ортогональные проекции точек А и В на каждой плоскости, мы получим ортогональную проекцию отрезка АВ на все три проецирующие плоскости.

Теперь перейдём к ортогональному чертежу. По аналогии с тем как мы строили ортогональный чертёж точки, построим ортогональный чертёж отрезка АВ общего положения на все три плоскости проекций. Для этого сначала построим проекции точки А: А1, А2 и А3, затем проекции точки В: В1, В2 и В3. Соединим одноимённые проекции точек А и В. Мы получили комплексный чертёж отрезка прямой АВ общего положения на все три плоскости проекций.  Отметим, что расстояния от точек А1 и А3 до соответствующих осей проекций равны, так же как равны расстояния от точек В1 и В3 до тех же осей.

 Следы прямой общего положения  Прямая общего положения пересекает плоскости проекций в 2-х точках – эти точки называют следами прямой.

Точка М - точка пересечения прямой m с плоскостью П1, т. е. точка М -горизонтальный след прямой m. Точки М1 и М2 - ортогональные проекции горизонтального следа прямой m.  Точка N - точка пересечения прямой m с плоскостью П2, т. е. точка N - фронтальный след прямой m. Точки N1 и N2 - ортогональные проекции фронтального следа прямой m.

На ортогональном чертеже отметим точку пересечения прямой m2 с осью проекций, это точка М2 - вторая проекция горизонтального следа прямой m. Опустим из точки М2 линию связи. При пересечении линии связи и прямой m1 получится точка М1 - первая проекция горизонтального следа прямой m. Аналогично, имея первую проекцию N1 - фронтального следа прямой m, можно построить вторую проекцию N2 - фронтального следа прямой m.

 Прямую общего положения можно задать следами. Каждый след задается двумя координатами (параметрами), следовательно прямая в пространстве определена 4 параметрами.  В общем случае длина отрезка АВ не проецируется в истинную величину и ее нельзя измерить на чертеже непосредственно. Задача измерения отрезка прямой общего положения по его проекции будет рассмотрена ниже.

5.

Теоремы

•  Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

• Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

• Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпердикулярна и самой наклонной.

• Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

• Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.

• Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

• Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.