Лекции по

Математическому анализу

8 факультет

2 курс 3 семестр

Лектор:

Иванова Е.П.

Набор:

BobicZdoh

2006 г.

1.1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке 4

Теорема 1. Необходимое условие интегрируемости по Риману 5

Мера Лебега 5

Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману. Верхние и нижние суммы Дарбу. 6

Лекция 2 6

1.2. Интеграл по множеству. Допустимые множества 6

Общие свойства интеграла 8

Лекция 3 9

Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини 9

Замена переменных в кратном интеграле. Формула Грина. 10

Лекция 4 12

Геометрический смысл модуля якобиана отображения 12

1.3. Приложения кратных интегралов 13

Лекция 5 13

1.4. Несобственные кратные интегралы 13

Несобственные кратные интегралы от неотрицательных функций 14

Признаки сравнения 14

Эталоны сравнения 15

Интеграл Пуассона 15

Лекция 6 15

Глава 2. Дифференциальная геометрия 15

2.1 Кривые в 15

Векторная функция скалярного аргумента 15

Касательная к кривой 16

Длина кривой. Спрямляемая кривая. Натуральная параметризация 17

Основной трёхгранник кривой. Формулы Френе 18

Формулы Френе. 18

Геометрический смысл величин k и æ 18

Вид кривой вблизи произвольной точки 19

2.2. Поверхность в Евклидовом пространстве 20

Ориентация поверхности. 21

Край поверхности и его ориентация. 22

Согласование ориентации поверхности и её края 23

Касательное пространство к поверхности 23

Касательная к поверхности в 23

Площадь поверхности в Евклидовом пространстве 24

Площадь поверхности в 27

Первая квадратичная форма поверхности 27

Длина кривой на поверхности 28

Глава 3. Дифференциальные формы в 28

3.1. Алгебра форм 28

Алгебра кососимметрических форм 30

3.2. Дифференциальные формы 32

Координатная запись дифференциальной формы 33

3.3. Дифференциальные операторы векторного анализа. Их связь с дифференциальными формами 34

Перенос форм при отображениях 36

Координатная запись форм, возникающих при переносе. 36

Глава 4. Криволинейные и поверхностные интегралы. 37

4.1. Интегралы от формы работы, потока. Форма объёма 38

4.2. Интегралы I и II рода. 41

Общая формула Стокса 42

Глава 5. Элементы векторного анализа 43

5.1. Дифференциальные операции векторного анализа 43

Формула Ньютона-Лейбница 44

Формула Стокса 44

Формула Остроградского-Гаусса 44

Геометрическая интерпретация ротора и дивергенции 45

5.2. Потенциальные поля 45

Замкнутые и точные формы 46

5.3. Соленоидальные поля 47

Лекция 1

Глава 1. Кратные интегралы

1.1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке

Определение 1. Множество называется промежутком в , если:

Определение 2. Промежутку ставится в соответствие число , которое называется мерой промежутка.

Лемма 1. Мера промежутка удовлетворяет следующим свойствам:

1. она однородна:

2. аддитивность:

3)

4) .

Разбиение промежутка

Определение 3.

Прямое произведение разбиения сторон индуцирует разбиение всего промежутка.

- разбиение промежутка, .

Для каждого промежутка выбираем отмеченную точку , .

Определение 4. Мелкость разбиения – число .

Определение 5. Разбиение с отмеченными точками: .

Определение 6. Пусть на промежутке задана функция , тогда сумма носит название «интегральная сумма».

Определение 7. - мерный интеграл Римана:

.

Если этот предел существует, тогда функция называется интегрируемой по Риману на -мерном промежутке .

Класс функций, интегрируемых по Риману на промежутке , обозначается .

Кратный интеграл.

.

Теорема 1. Необходимое условие интегрируемости по Риману

ограничена на .

Доказательство. Пусть . Предположим, что функция не ограничена на хотя бы на одном из промежутков разбиения она будет неограниченной. Выбирая произвольным образом отмеченные точки и мы можем получить:

. Таким образом, нарушается критерий Коши сходимости интегральных сумм - противоречие.

Мера Лебега

Определение 8. Будем говорить, что множество имеет -мерную меру ноль в смысле Лебега, если не более чем счётная система интервалов .

1. Точка является множеством меры ноль.

2. Объединение конечного, либо счётного числа множеств меры ноль есть множество меры ноль.

3. Подмножество множества меры ноль – множество меры ноль.

4. Невырожденный - мерный промежуток не является множеством меры ноль.

Определение 9. Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всюду, если оно выполняется всюду, кроме, быть может, множества меры ноль.

Утверждение 1. График непрерывной функции имеет - мерную меру ноль.

Если:

То: .

Доказательство.

равномерно непрерывна на

Строим разбиение . Отмечаем точки разбиения .

, .

Строим промежуток

.

Следствие 1.

Если: .

То: график на имеет -мерную меру ноль. (Т.к. )

Замечание 1.

1. Если в определении меры ноль заменить замкнутые промежутки открытыми, то определение останется эквивалентным.

2. Если - компакт, то в определении можно заменить счётную систему конечной.

Теорема 2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.