- •1 Поняття про числовий ряд і його суму. Геометричний ряд.
- •2 Необхідна умова збіжності ряду. Гармонічний ряд. Залишок ряду. Властивості збіжних рядів. Критерій Коші збіжності ряду.
- •3 Ознаки збіжності числових рядів з додатними членами
- •5 Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.
- •6 Абсолютно і умовно збіжні ряди, їх властивості.
- •7 Поняття про числовий ряд з комплексними числами
- •8 Функціональні ряди.
- •9 Властивості рівномірно збіжних рядів
- •10 Степеневі ряди.
- •11 Властивості степеневих рядів.
- •13 Ортогональна система функцій. Ряд Фур’є, коефіцієнти Фур’є, теорема Діріхле.
- •14 Ряд Фур’є для парних і непарних ф-й.
- •16 Ряд Фур’є в комплексній формі
- •17 Інтеграл Фур'є. Теорема Фур'є. Амплітудний і фазовий частотні спектри.
- •18 Інтеграл Фур’є для парних і непарних ф-й. Синус і косинус перетворення Фур’є.
- •19 Інтеграл Фур’є в комплексній формі.
- •21 Функція комплексної змінної. Границя. Неперервність
- •22 Основні елементарні ф-ї кз:
- •23 Диференціювання ф-ї комплексної змінної (фкз). Умови Коші-Рімана
- •24 Аналітична ф-я. Гармонічна ф-я.
- •25 Геометричний зміст модуля та аргументу похідної ф-ї кз. Поняття про конформне відображення.
- •26 Означення інтегралу від ф-ї кз. Формули для обчислення інтегралу.
- •27 Теорема Коші для однозв’язної області
- •28 Теорема Коші для багатозв’язної області
- •29 Інтегральна формула Коші. Інтеграл Коші. Формула для похідної аналітичної функції.
- •30 Степеневі ряди в комплексній формі. Теорема Абеля. Круг збіжності ряду.
- •31 Ряд Тейлора. Теорема про розвинення аналітичної ф-ї в степеневий ряд.
- •32 Ряд Лорана. Теорема про розвинення ф-ї в кільці.
- •33 Класифікація ізольованих особливих точок ф-ї.
- •34 Означення лишку аналітичної функції в ізольованій особливій точці. Обчислення лишків в особливих точках.
- •35 Розвинення функції в ряд Лорана в околі нескінченно-віддаленої точки.
- •37 Обчислення інтегралів за допомогою лишків.
- •38 Означення функції-оригіналу. Означення перетворення Лапласа. Теорема існування. Необхідна умова існування зображення.
- •39 Властивості перетворення Лапласа
- •40 Теорема Бореля. Згортка функцій. Зображення згортки.
- •41 Інтеграл Дюамеля. Зображення періодичного сигналу.
- •42. Формула Рімана-Мелліна
- •43 Застосування операційного числення.
21 Функція комплексної змінної. Границя. Неперервність
Означення: функція яка встановлює відповідність між двома множинами комплексних чисел називається функцію комплексної змінної.
Означення: Границею послідовності комплексних чисел ,… називається таке комплексне число , що . Якщо , а , то , тобто, для того, щоб сума невід’ємних чисел прямувала до нуля потрібно, щоб та .
Таким чином збіжність послідовності комплексних чисел еквівалентна одночасній збіжності їх дійсних та уявних частин до відповідно дійсної та уявної частин комплексного числа . Якщо хоча б одна з цих послідовностей прямує до нескінченості, то кажуть, що границею послідовності є невласне (нескінчене) комплексне число, якому на комплексній площині відповідає так звана нескінченно віддалена точка.
Функція називається неперервною в точці , якщо :
вона визначена в деякому околі цієї точки , включаючи саму цю точку.
існує скінченна границя
22 Основні елементарні ф-ї кз:
Можливість розгляду степеневих рядів з комплексними членами визначає можливість розгляду елементарних ф-й КЗ.
Використовуючи формулу Ейлера, отримаємо:
Важливою властивістю показникової ф-ї комплексного аргумента є те, що вона є періодичною з уявним періодом
Оскільки для ф-й КЗ експонента є періодичною, то для оберненої до неї логарифмічної являється багатозначною (багатолистою).
Всилу того, що в обл. КЗ показникові та тригонометрична ф-ї пов’язані через формулу Ейлера, обернені тригонометричні ф-ї виявляються пов’язаними з логарифмами.
23 Диференціювання ф-ї комплексної змінної (фкз). Умови Коші-Рімана
ФКЗ називається диференційовною в точці , якщо вона визначена в цій точці та деякому її околі і має місце рівність: , . Похідною ф-ї називається: .
існування скінченої похідної ф-ї в точці рівносильне її диференційовності;
якщо ф-я диференційовна, то вона неперервна в точці, проте не напаки;
Теор.: Для того, щоб ф-я була диференційовною в точці необхідно і достатньо виконання наступних умов:
ф-ї та повинні бути неперервно диференційовними в точці
Справедливі умови Коші-Рімана:
Доведення:
Покладемо
Тепер покладемо
24 Аналітична ф-я. Гармонічна ф-я.
Ф-я назив. аналітичною за Коші в деякій обл., якщо її похідна неперервна в цій обл.
Ф-я називається гармонічною, якщо вона задовольняє рівнянню Лапласа:
Пара ф-й та , які є гармонічними між собою називаються парою спряжених гармонічних ф-й.
25 Геометричний зміст модуля та аргументу похідної ф-ї кз. Поняття про конформне відображення.
Оскільки ф-я здійснює відображення точки на одній КП у точку на іншій КП, то розглянемо нескінченно малий вектор кінці якого знаходяться в точках і дослідимо його зв'язок з вектором
Модуль похідної є коефіцієнтом розтягнення (стиснення) нескінченно малого вектора при відображенні його, що здійснюється ф-єю .
Аргумент похідної являє собою кут повороту того ж вектора при вказаному відображенні.
Взаємно однозначне відображення області площини на область площини називається конформним, якщо в кожній точці області воно має властивість збереження кутів та постійності розтягнення. Для того, щоб відображення області , що задається ф-єю , було конформним, необхідно і достатньо, щоб була однолистною та аналітичною в області ф-єю, при цьому скрізь в обл. .