2. Потенциал электростатического поля

И звестно, что поле консервативных сил является потенциальным, то есть работа силы при перемещении тел не зависит от формы траектории и равна изменению потенциальной энергии, , а работа по замкнутой траектории равна нулю.

1. Определим работу по перемещению некоторого пробного заряда q₂ в электростатическом поле, создаваемого точечным зарядом q₁ (рис. 2.1). На элементарном участке траектории работа равна . Из рисунка видно, что равна изменению расстояния между зарядами. Полная работа кулоновских сил на пути 1 – 2 определится интегралом:

2.1

Как видно, работа не зависит от формы траектории, а на замкнутой траектории (r₂=r₁) будет равна нулю. То есть, электростатическое поле является потенциальным полем, а кулоновские силы – консервативными силами.

2. Обобщая для поля произвольного числа зарядов, работу сил поля по замкнутой траектории следует также приравнять к нулю. . Интеграл от скалярного произведения вектора по замкнутой траектории называется циркуляцией вектора. Итак, для вектора напряженности электростатического поля выполняются два уравнения: теорема Гаусса , поток напряженности через замкнутую поверхность равен отношению заряда внутри поверхности к диэлектрической проницаемости среды и циркуляция напряженности электростатического поля равна нулю . И наоборот, если циркуляция вектора напряженности равна нулю, то это поле является электростатическим.

3. Из уравнения 2.1 следует, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется формулой:

. 2.2

На бесконечно большом расстоянии между зарядами потенциальная энергия стремится к нулю.

4. Отношение потенциальной энергии 2.2 пробного заряда q₂ к величине его заряда не зависит от заряда и является энергетической характеристикой источника поля заряда q₁, называемой потенциал . Потенциал поля точечного заряда определяется формулой:

. 2.3

Если поле создается системой зарядов, то по принципу суперпозиции энергия пробного заряда равна сумме потенциальных энергий в поле всех зарядов. Отношение суммарной потенциальной энергии заряда, внесенного в некоторую точку электростатического поля, также не зависит от величины пробного заряда и является потенциалом поля.

, или . 2.4

Работу по перемещению заряда в электростатическом поле можно определить как произведение величины заряда на разность потенциалов конечной и исходной точек траектории или на напряжение U:

. 2.5

Единицей измерения потенциала и напряжения является вольт.

5. Между двумя характеристиками поля, напряженностью и потенциалом существует связь, которую можно установить, определив элементарную работу при перемещении заряда вдоль силовой линии (рис. 2.2). Работа силы F = q E на пути dl вдоль силовой линии совершается полем за счёт убыли потенциальной энергии взаимодействия: dA = – dП, то есть q E dl = – q dj. Отсюда

. (2.6)

Напряженность электростатического поля равна быстроте изменения потенциала вдоль силовой линии и как вектор направлена в сторону уменьшения потенциала. Производная от потенциала по координате, направленной по силовой линии в сторону повышения потенциала, называется градиентом потенциала. То есть .

6. Для наглядности электростатическое поле изображают с помощью эквипотенциальных поверхностей. Это поверхности равного потенциала. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности электростатического поля ортогональны, то есть их касательные взаимно перпендикулярны. Доказать это можно, определив работу поля по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности (рис. 2.2). Так как при перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности dj = 0, то левая часть уравнения тоже равна нулю, значит cosa = 0, то есть угол между вектором напряженности и касательной к эквипотенциальной поверхности равен 90 ⁰.