Глава 5 Кривые второго порядка

Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени относительно переменных и , т.е. уравнениями вида

(40)

называются кривыми второго порядка.

§1 Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, удаленных от заданной точки на одно и тоже расстояние . Точка называется центром, а - радиусом окружности.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид

, (41)

где - координаты ее центра. Уравнение (41) называется каноническим уравнением окружности. В частности, если , (т.е. центр окружности совпадает с началом координат), то уравнение (41) имеет вид

(42)

Рисунок 62

Общее уравнение второй степени (40) определяет окружность, если и .

Уравнение второй степени (42) определяет точку при с координатами .

Уравнение второй степени вида определяет мнимую окружность.

§2 Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная и большая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое уравнение эллипса: , (43)

где - большая полуось, - большая ось, - малая полуось, - малая ось, эллипса. Координаты фокусов: , , где с – половина расстояния между фокусами (рисунок 63). Числа и связаны соотношением

(44)

Точки называются вершинами эллипса, точка - центром эллипса, расстояния и от произвольной точки эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Рисунок 63 Рисунок 64

Эксцентриситетом эллипса называется число, равное отношению фокусного расстояния (расстояния между фокусами) к длине большой оси

: ( , т.к. ).

Фокальные радиусы определяются формулами: , .

Директрисами эллипса называются прямые и , перпендикулярные большей оси эллипса симметричные относительно центра, и отстоящие от нее на расстоянии равном : уравнения директрис: и (45)

Замечания: 1) Если , то уравнение (43) определяет окружность ;

2) если фокусы эллипса лежат на оси , то эллипс имеет вид: (рисунок 64): В этом случае: , , , уравнения директрис ;

3) уравнение эллипса с центром в точке , имеет вид (рисунок 65).

Рисунок 65

Теорема. Отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

§3 Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная , меньшая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое уравнение гиперболы: , (46)

где - действительная полуось, - мнимая полуось, и называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Координаты фокусов: , , - половина расстояния между фокусами (рисунок 66). Числа и связаны соотношением (47)

Рисунок 66

Рисунок 66

Точки и называются вершинами гиперболы, точка - центром гиперболы, расстояния и от произвольной точки гиперболы до ее фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Эксцентриситетом гиперболы называется число, равное отношению расстояния между фокусами к длине действительной оси.

Число ( , т.к. ) (48)

называется эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы определяются формулами: для точек правой ветви гиперболы: , ; для точек левой ветви: , .

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой , а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями

(49)

Две прямые и , перпендикулярные действительной оси гиперболы, расположенные симметрично относительно центра и отстоящие от него на расстоянии, равном , называются директрисами гиперболы. Их уравнения: и .

Замечания:

1. Если , то гипербола называется равносторонней (равнобочной).

Ее уравнение принимает вид .

2) если фокусы гиперболы лежат на оси , то уравнение гиперболы имеет вид: (50)

Эксцентриситет этой гиперболы равен , асимптоты определяются уравнениями , а уравнения директрис . Гипербола (50) называется сопряженной гиперболе; если она имеет вид, изображенный на рисунке 67;

3) уравнение гиперболы с центром в точке с координатами , имеет вид (рисунок 68).

Рисунок 67 Рисунок 68

Теорема. Отношение расстояний от любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы равно эксцентриситету.