Глава 6 Поверхности второго порядка
Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат то каждая поверхность определяется некоторым уравнением , - координаты любой точки поверхности. Если - многочлен не выше второй степени относительно совокупности переменных , то уравнение называется уравнением второго порядка, а поверхность, изображаемая этим уравнением называется поверхностью второго порядка.
Если поверхность имеет специфическое расположение относительно системы координат (например, симметрична относительно некоторых координатных плоскостей, или имеет вершину в начале координат), то ее уравнение имеет достаточно простой вид, который называется каноническим.
§1 Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка. Геометрическое изображение
Сферой называют множество точек пространства , которые равноудалены от точки, называемой центром сферы на расстояние, называемое радиусом сферы.
Сфера радиуса с центром в начале координат (рисунок 96)
(60)
Рисунок 96
Уравнение (61)
изображает сферу радиуса с центром в точке .
Эллипсоид с полуосями и центром в начале координат (рисунок 97)
(62)
При эллипсоид превращается в сферу радиуса .
Рисунок 97 Рисунок 98
Однополостный гиперболоид с полуосями и осью (рисунок 98)
(63)
Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями являются эллипсами: .
Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями или являются гиперболами: или .
Двуполостный гиперболоид с полуосями и осью (рисунок 99)
(64)
Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями , являются эллипсами: .
Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями или являются гиперболами: или .
Рисунок 99 Рисунок 100
Параболоид эллиптический с параметрами и вершиной в начале координат (рисунок 100)
(65)
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями ( при , при ) являются эллипсы: .
Сечения параболоида вертикальными плоскостями или являются параболами: или .
Параболоид гиперболический с параметрами и вершиной в начале координат (рисунок 101)
(66)
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями представляют собой гиперболы: .
Сечения вертикальными плоскостями или являются параболами: или .
Рисунок 101 Рисунок 102
Конусом называется поверхность, составленная из прямых линий, проходящих через фиксированную точку – вершину конуса. Прямые называются образующими, а линия, которая лежит на конусе, не проходит через вершину и пересекает все образующие, называется направляющей конуса.
Конус эллиптический с вершиной в начале координат и осью (рисунок 102)
(67)
Если , то конус круглый или круговой.
Пересечение конуса горизонтальными плоскостями являются эллипсами: , ( при эллипс вырождается в точку).
Сечения конуса вертикальными плоскостями или являются гиперболами: или при ;
или парой пересекающихся прямых: , при .
К поверхностям второго порядка относятся цилиндры.
Цилиндры:
Поверхность, которая состоит из прямых линий, параллельных заданному направлению, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром, а прямые линии – ее образующими. Линию, лежащую на поверхности и пересекающую все образующие, называют направляющей.
Мы ограничимся перечислением цилиндров, направляющие которых расположены в плоскости , а образующие – прямые, параллельные оси .
Эллиптический цилиндр (рисунок 103): (68)
Если , то цилиндр круговой .
Гиперболический цилиндр (рисунок 104): (69)
Рисунок 103 Рисунок 104
Параболический цилиндр (рисунок 105): (70)
П римечание. Если в каждом из приведенных канонических уравнений заменить , , , где - фиксированные числа, то новые уравнения представляют те же поверхности и они занимают в системе координат такое же положение относительно плоскостей , , как поверхности, заданные канонически относительно координатных плоскостей Рисунок 105
, , .
Другими словами, приведенные формулы представляют параллельный сдвиг поверхности на вектор .