29.Нормальный закон распределения.Мо и дисп.Св.Влияние пар-ов а и δ на вид норм крив.

Нормальное распределение явл. одним из наиболее часто встречающихся. Играет большую роль в тер. вер., поскольку явл. Предельным законом, к к-ому приближаются все др. законы распределения.

Док-но, что если знач. СВ возникают в результате большого числа независимых воздействий, ни одно из к-ых не превалирует над остальными, то результат этих воздействий явл. СВ, распределенной по нормальному закону почти всегда.

По нормальному закону распределены:

1случайные ошибки измерения,

2лин. размеры деталей при массовом пр-ве,

3биометрические показатели лиц определенного возраста,

4отклонения в результате хим., спектральных и других анализах.

Говорят, что непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами а и σ, если ее плотность распределения имеет вид ;

Определение корректно, т.к.:

_-∞∫^+∞f(x)dx=1

M(X)= _-∞∫^+∞xf(x)dx=a

σ (X)= _-∞∫^+∞(x-M(X))²f(x)=σ²

Для геометрической интерпретации параметров а и σ исследуют поведение ф-ии

график к-ой наз. нормальной кривой.

1)График f(x) симметр.относит.x=а

2)D(f)=(-;+) 3)f(x)>0 при люб.х 4) 5)Ф-я имеет max. в точке х=а-т.mах.

6)х=а - перегиб, f(а=1/  2п e) Точка перегиба—это вторая производная

При изменении параметра а форма кривой не меняется, а ее график сдвигается влево или вправо. При изменении параметра σ меняется форма нормальной кривой: с увеличением параметра σ кривая должна приближаться к 0Х и растягиваться вдоль этой оси, а с уменьшением σ кривая стягивается к прямой х=а.

30.Выражение ф-ии распред. Норм.Велич.Ч/з ф-ю Лапласа.Вер-ть попад.Знач.Норм.Св в задан.[ ],3

1) Распределение N(0;1) наз-ся станд-ным нормальным..Для стандартного распред-я плотность вер-ти равна: , а ф-я распред-я .

Ф-я Лапласа и ф-я распред-я НСВ Х с параметрами связаны соотнош-м: .

2)Получим формулу д/вычисления вер-ти попадания НСВ с параметрами в задан. интервал(α;β) через стандарт-е распред-е :

3)3σ Вер-ть того, что НСВ отклоняется от своего мат.ожид-я по модулю меньше, чем ε>0, определяется формулой . Если положить , то получим .

Отсюда вытекает, что среди 10000 значений НСВ в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений Х нет таких, кот. выходят за пределы указанного интервала. Правило 3-х сигм часто применяется д/грубой оценки сигма: .

31. Неравенство Маркова

Если СВ Х принимает только неотрицат. значение то для любого α>0 справедливо неравенство:

32. Неравенство Чебышева

Если Х-СВ, мат. ожидание к-рой М(Х) = а, а дисперсия D(Х) конечна, то д/любого числа ε > 0 выполняются неравенства:

При неизв-ом з-не распред-я на практике при известных М(Х),D(X) участком возможных значений СВ Х считают М(Х)±3σ(Х)