36. Непрерывность функции в точке.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х_0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1)определена в точке х₀ (т.е.существует f(х₀))

2)имеет конечный предел функции при х→х_о

3)этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.  

Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀ если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

lim (где дельта Х стремится к нулю) Дельта У = 0

(надеюсь поймешь тут мою надпись, не могу в инете найти чтоб четко было(( )

37. Точки разрыва, их классификация.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) в точке х₀ не является непрерывной.   Это значит, что или не существует предела функции в данной точке, или этот предел не совпадает с тем значением, которое функция принимает в этой точке.

Классификация:   1)Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы

  2)Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f (x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.   Так для функции

в точке х = 0 односторонние пределы равны

,

то х = 0 является точкой разрыва второго рода.

38. Операции над непрерывными функциями, свойства непрерывных функций

Свойства непрерывных функций в точке:

 

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

 2) Частное двух непрерывных функций  – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

 

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x),  v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывная функция в этой точке.

Свойства непрерывных функции на отрезке:

1) Если функции y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

2)  Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (теорема Вейерштрасса).

3) Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка E принадлежавшая (a,b), такая, что f(E)=0 (теорема Больцано-Коши).

39. Определение и геометрический смысл производной.

Произво́дная — произведённая, образованная от другой, простейшей или основной величины, формы, категории.

Произво́дная — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y =f(x) в этой точке.