- •1. Матрицы и действия над ними.
- •2. 1 2 3 И n порядок
- •3. Свойства определителей.
- •4. Разложение определителя по строке или столбцу.
- •5. Определитель произведения матриц.
- •6. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений.
- •7. Обратная матрица и ее вычисление.
- •Свойства обратной матрицы
- •8. Свойства обратной матрицы и новый вывод формул Крамера.
- •9. Определение n-мерных арифметических векторов и действий над ними.
- •10. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •11. Максимальная линейно независимая подсистема векторов. Линейная зависимость векторов
- •Свойства систем векторов
- •12. Определение ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •13. Теорема о равенстве числа векторов в двух максимальных линейно независимых подсистемах векторов.
- •14. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Метод окаймляющих миноров
- •15. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.
- •II. Метод элементарных преобразований
- •16. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем на основе теоремы Кронекера-Капелли.
- •17. Однородная система линейных уравнений. Свойства ее решений.
- •18. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и теорема о числе решений в ее составе.
- •19. Связь решений линейной неоднородной и соответствующей ей однородной систем.
- •20. Метод Гаусса решения линейных уравнений.
- •§ 3. Декартова система координат в пространстве
- •§ 1. Декартова система координат на плоскости
- •22. Полярные координаты на плоскости и их связь с декартовыми прямоугольными координатами.
- •§ 2. Полярная система координат на плоскости
- •23. Понятие свободного вектора. Теорема о проекции вектора на ось.
- •Свободный вектор
- •24. Координаты вектора и их вычисление по координатам его начала и конца. Направляющие косинусы.
- •25. Длина вектора и формула для вычисления расстояния между двумя точками пространства.
- •1.6. Расстояние между двумя точками
- •26. Линейные операции над векторами. Линейные операции над векторами
- •27. Основные теоремы о проекциях векторов.
- •28. Разложение векторов на компоненты.
- •29. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •Геометрический смысл скалярного произведения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •30. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •31. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •1.16. Смешанное произведение векторов и его свойства
- •Геометрические свойства смешанного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного произведения
- •32. Общее уравнение прямой на плоскости.
- •33. Уравнение прямой в отрезках.
- •34. Нормальное уравнение прямой. Вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости. Общее уравнение прямой
- •35. Общее уравнение плоскости.
- •36. Уравнение плоскости в отрезках.
- •37. Нормальное уравнение плоскости, Расстояние от точки до плоскости.
- •38. Канонические уравнения прямой.
- •39. Эллипс: уравнение, общий вид и свойства кривой.
1. Матрицы и действия над ними.
Рассмотрим матрицу вида:
Можно пользоваться сокращенной формой записи:
A = ( aij ); i = 1, 2, 3, .... , m ; j = 1, 2, 3, ....., n .
О. Нулевой матрицей называется матрица все элементы которой равны 0.
О. Две матрицы одинаковой размерности mxn называются равными, если на пересечении i-й строки и j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2, ..., m ; j=1, 2, ..., n .
Пусть A = (aij) – некоторая матрица и g–произвольное число,тогда g A = (g aij), то есть при умножении матрицы A на число g все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число g.
Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (aij), B = (bij), тогда их сумма A + B – матрица C = (cij) той же размерности, определяемая из формулы cij= aij + bij, то есть при сложении двух матриц попарно складываются одинаково расположенные в них числа.
Матрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB, если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый элемент матрицы C определяется формулой
Элемент cij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов i -строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j -го столбца второй матрицы - сомножителя.
Таким образом, формула (1.16) является записью системы m линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме. Ниже будет показано, что, записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и другие очень важные преимущества.
Пусть имеются две квадратные матрицы А и В одинаковой размерности.
Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению
AX = В.
О. Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A–1, для которой справедливы равенства:
AA –1 = A –1 A = E (1.17)
Очевидно, что A–1 – квадратная матрица того же размера, что и матрица A. Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу. Матрица А имеет обратную матрицу, если detA не равно 0.
Обратная матрица имеет вид:
2. 1 2 3 И n порядок
Определение: Матрицей называется множество чисел, записанное в виде таблицы, где каждому числу ( элементу матрицы) соответствует двойной индекс, первая часть которого означает номер строки, в которой расположено это число, а вторая – номер столбца. Эта таблица чисел заключается в круглые скобки. Матрица называется квадратной, если количество её строк равно количеству столбцов. Пример: - матрица А размера 3 на 3, её элемент, например, ( 1-я строка, 2-ой столбец).
Итак, теперь об определителях. Замечание: Иногда определители называют на английский манер детерминантами, это одно и то же (для тех, кто знает английский язык и подавно). Определение 1 (простое, для нематематических людей и специальностей): Определителем матрицы называется некоторая математическая функция элементов квадратной матрицы, результатом которой является число. Обозначение: – определитель 3- го порядка (т.к. матрица размера 3 на 3) матрицы А. Замечание: В этом, якобы простом, определении определителя ( звучит как тавтология) говориться, что с элементами матрицы нужно что то сделать ( умножить, сложить, разделить и т.д.) и получится значение определителя этой матрицы. Однако не сказано. Что же все-таки надо с ними сделать.
Вычисление определителей первого порядка. Матрица размера это просто число. Определителем такой матрицы является само это число. Пример:
Вычисление определителей второго порядка. Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу: Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной. Пример: .
Вычисление определителей третьего порядка. Определитель третьего порядка вычисляется по правилу: Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников: Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых. Пример: Вычислить определитель: Решение: Воспользуемся правилом треугольников. Объясним картинку подробно, т.е. распишем каждое слагаемое отдельно:
Итого:
Ответ: 108
Для более точного и сложного определения и для того, чтобы говорить об определителях порядка больше третьего, потребуется вспомнить еще кое-что. Нас интересует термин подстановка, даже не столько определение, сколько способ её вычисление.
Для подстановки принята запись: , т.е. пары чисел, записанные в столбик, причем так, что верхние числа идут последовательно (вообще говоря, столбцы можно менять местами).
Подстановки бывают четными и нечетными. Для того, чтобы выяснить, является данная подстановка четной или нечетной, нужно обратить внимание на вторую строку, а точнее на порядок чисел в ней. Необходимо подсчитать количество пар чисел во второй строке, таких, что число, стоящее левее, больше числа, стоящего правее ( ). Если количество таких пар нечетно, то и подстановка называется нечетной, и, соответственно, если количество таких пар четно, то и подстановка называется четной.
Пример: 1) Рассмотрим числа второго ряда. 4 стоит левее 3, левее 1, левее 2 – это уже три «неправильные» пары. 3 стоит левее 1 и 2 – еще две пары. Итого 5 пар, т.е. это нечетная подстановка. 2) Заметим, что числа в первой строке расположены не по порядку. Выполним перестановку столбцов. Рассмотрим числа второго ряда. 3 стоит левее 2 и 1 – две пары, 2 стоит левее 1 – одна пара, 5 стоит левее 4 и 1 – две пары, 4 стоит левее1 – одна пара. Итого 6 пар – подстановка четная.
Определение 2 (для студентов математических специальностей, раскрывающее всю суть определяемого понятия):
Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется алгебраическая сумма слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае. Замечание: Объясним это определение на примере определителя третьего порядка, для которого уже известна формула вычисления. . 1) «алгебраическая сумма слагаемых» – . И да, действительно, здесь шесть слагаемых. 2) «слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца» – рассмотрим например слагаемое . Его первый множитель взят из второй строки, второй – из первой, а третий из третьей. То же самое и со столбцами – первым множитель из первого столбца, второй из третьего, а последний из второго. 3) «причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае» – рассмотрим для примера слагаемые (со знаком плюс) и (со знаком минус).
Составим перестановки так, что в первой строке будут номера строк сомножителей, а во второй – номера столбцов. Для слагаемого : ( первый столбец – индекс первого сомножителя и т.д.) Для слагаемого : . Определим четность этих перестановок: а) – элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары: 2 левее 1 – одна пара, 3 левее 1 – одна пара. Итого две пары, т.е. количество пар четно, значит перестановка четная, а значит, слагаемое должно входить в сумму со знаком плюс (как оно и есть на самом деле). б) – элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары: 2 левее 1 – одна пара. Итого, количество пар чисел, стоящих так, что большее левее меньшего – 1 шт., т.е. нечетно, а значит и перестановка называется нечетной, и соответствующее слагаемое должно входить в сумму со знаком минус ( да, это так). Пример («Сборник задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, №1001):
Выяснить, какие из следующих произведений входят в развернутое выражение определителей соответствующих порядков и с какими знаками. а) Обратим внимание на часть определния «по одному из каждой строки и каждого столбца». Все первые индексы сомножителей различны от 1 до 6( 1, 2, 3, 4, 5, 6). Все вторые индексы сомножителей различны от 1 до 6 ( 3, 2, 1, 4, 5, 6). Вывод – это произведение входит в развернутое выражение определителя 6-го порядка. Определим знак этого слагаемого, для этого составим перестановку из индексов сомножителей:
3 левее 2, 1 – две пары, 2 левее 1 – одна пара, 6 левее 5, 4 – две пары, 5 левее 4 – одна пара. Итого 6 пар, т.е. перестановка четная и слагаемое входит в развернутую запись определителя со знаком «плюс».
б) Все первые индексы сомножителей различны от 1 до 5( 3, 1, 5, 4, 2). Все вторые индексы сомножителей различны от 1 до 5 (1, 3, 2, 5, 4). Вывод – это произведение входит в развернутое выражение определителя 5-го порядка. Определим знак этого слагаемого, для этого составим перестановку из индексов сомножителей: Переставим столбцы так, чтобы числа в первой строке шли по порядку от меньшего к большему. 3 левее 1, 2 – две пары. 4 левее 1, 2 – две пары, 5 левее 2 – одна пара. Итого 5 пар, т.е. перестановка нечетная и слагаемое входит в развернутую запись определителя со знаком «минус». в) – обратим внимание на первый и шестой сомножители: и . Они оба взяты из 4-го столбца, а значит, это произведение не может входить в развернутое выражение определителя 7-го порядка.