- •1. Матрицы и действия над ними.
- •2. 1 2 3 И n порядок
- •3. Свойства определителей.
- •4. Разложение определителя по строке или столбцу.
- •5. Определитель произведения матриц.
- •6. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений.
- •7. Обратная матрица и ее вычисление.
- •Свойства обратной матрицы
- •8. Свойства обратной матрицы и новый вывод формул Крамера.
- •9. Определение n-мерных арифметических векторов и действий над ними.
- •10. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •11. Максимальная линейно независимая подсистема векторов. Линейная зависимость векторов
- •Свойства систем векторов
- •12. Определение ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •13. Теорема о равенстве числа векторов в двух максимальных линейно независимых подсистемах векторов.
- •14. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Метод окаймляющих миноров
- •15. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.
- •II. Метод элементарных преобразований
- •16. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем на основе теоремы Кронекера-Капелли.
- •17. Однородная система линейных уравнений. Свойства ее решений.
- •18. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и теорема о числе решений в ее составе.
- •19. Связь решений линейной неоднородной и соответствующей ей однородной систем.
- •20. Метод Гаусса решения линейных уравнений.
- •§ 3. Декартова система координат в пространстве
- •§ 1. Декартова система координат на плоскости
- •22. Полярные координаты на плоскости и их связь с декартовыми прямоугольными координатами.
- •§ 2. Полярная система координат на плоскости
- •23. Понятие свободного вектора. Теорема о проекции вектора на ось.
- •Свободный вектор
- •24. Координаты вектора и их вычисление по координатам его начала и конца. Направляющие косинусы.
- •25. Длина вектора и формула для вычисления расстояния между двумя точками пространства.
- •1.6. Расстояние между двумя точками
- •26. Линейные операции над векторами. Линейные операции над векторами
- •27. Основные теоремы о проекциях векторов.
- •28. Разложение векторов на компоненты.
- •29. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •Геометрический смысл скалярного произведения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •30. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •31. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •1.16. Смешанное произведение векторов и его свойства
- •Геометрические свойства смешанного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного произведения
- •32. Общее уравнение прямой на плоскости.
- •33. Уравнение прямой в отрезках.
- •34. Нормальное уравнение прямой. Вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости. Общее уравнение прямой
- •35. Общее уравнение плоскости.
- •36. Уравнение плоскости в отрезках.
- •37. Нормальное уравнение плоскости, Расстояние от точки до плоскости.
- •38. Канонические уравнения прямой.
- •39. Эллипс: уравнение, общий вид и свойства кривой.
20. Метод Гаусса решения линейных уравнений.
21. Основное соотношение между величинами направленных отрезков на числовой оси.
Координаты на прямой, плоскости и в пространстве. Формула для вычисления величины направленного отрезка на прямой через координаты его начала и конца.
§ 3. Декартова система координат в пространстве
Декартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки в пространстве однозначно определено тремя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось, второе – величина проекции на вторую ось, третье – на третью.
§ 1. Декартова система координат на плоскости
Декартова система координат хорошо известна. И всё же сформулируем подробнее, каким образом она задаётся на плоскости, и какие величины в результате однозначно определяют положение точки на плоскости. Не будем, однако, слишком углубляться в терминологию, т.к. используемые понятия просты и подробно изучаются в курсе средней школы.
Как уже было замечено в гл.1, § 6, задать декартову систему координат на плоскости означает зафиксировать, во-первых, точку начала координат, а во-вторых, две перпендикулярные направленные оси (так называемые, оси координат). Причём, эти оси занумерованы. И, конечно, понадобится единичный отрезок, чтобы численно обозначать расстояние между двумя точками.
Таким образом, положение любой точки на плоскости однозначно определено двумя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось (взятая с плюсом, если проекция попала на “положительную” часть оси, или с минусом, если на “отрицательную”), а второе – величина проекции на вторую ось.
Стандартным образом декартова система координат обозначается Oxy, оси нумеруются таким образом, что поворот от первой оси ко второй осуществляется против часовой стрелки. Координаты точки – (x,y).
22. Полярные координаты на плоскости и их связь с декартовыми прямоугольными координатами.
§ 2. Полярная система координат на плоскости
Для того, чтобы задать полярную систему координат на плоскости, надо зафиксировать, во-первых, точку начала координат, а во-вторых, луч, выходящий из этой точки. Необходимо также определить единичный отрезок и положительное направление отсчета угла между лучом и отрезком, соединяющим начало координат с какой-либо точкой плоскости.
Положение точки на плоскости задаётся двумя числами. Первое – расстояние от точки до начала координат, а второе – угол между зафиксированным лучом и отрезком, соединяющим точку и начало координат.
Обычно направление отсчета угла выбирают против часовой стрелки. Стандартное обозначение координат точки в полярной системе – (ρ,φ). Очевидно, ρ 0.
Существуют формулы перехода между заданными стандартным образом декартовой и полярной системами координат. Если они друг другу соответствуют (т.е. должны совпадать начала координат в обеих системах, луч полярной системы координат должен совпадать с “положительной” частью первой оси декартовой системы, должны быть одинаковыми единичные отрезки), то
x = ρ∙cosφ,
y = ρ∙sinφ.
В других случаях формулы зависят от постановки задачи, но получить их легко из геометрических соображений.
С помощью этих формул можно осуществлять переход между двумя системами координат, преобразовывать координаты точек, уравнения кривых и т.д..
В полярной системе координат очень просто выглядят уравнения прямых, проходящих через начало координат и окружностей с центром в этой точке. Кроме того, уравнения многих стандартных, часто используемых, кривых принято (с точки зрения простоты) записывать в полярных координатах.