107 Лекции по д/г. Крутов а.В. 2011

1. Элементы теории поверхностей Введение

Если кривую просто представить себе как траекторию движущейся точки, то поверхность можно представить себе как множество точек пространства, описываемое при непрерывном перемещении некоторой кривой, сопровождаемое в общем случае формоизменением этой кривой. Или как непрерывное семейство кривых, порождаемое изменяющейся кривой.

Таким образом, поверхность можно описать с помощью уравнения кривой, содержащей дополнительный параметр, каждое значение которого определяет конкретную кривую в семействе кривых, образующих поверхность. Если кривая задана параметрическими уравнениями с помощью вектор-функции одного скалярного аргумента (одного параметра) r=r(p), то поверхность как семейство кривых можно определить параметрически с помощью вектор-функции двух скалярных аргументов (двух переменных параметров): r=r(p,q), где параметр p пусть определяет текущую точку кривой семейства, а параметр q – выделяет кривую этого семейства. Обычно эти параметры обозначают через u, v и пишут r=r(u,v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Если в качестве параметров u, v взять декартовы координаты x, y точек поверхности, то будем иметь параметрические уравнения в виде x=x, y=y, z=z(x, y) или кратко уравнение поверхности как график функции двух переменных z=z(x, y), или уравнение в неявном форме F(x, y, z)=0. При задании поверхности в виде вектор-функции двух переменных параметров

Поверхность может рассматриваться как граница части пространства (тела).

Поверхность горного рельефа на плоской карте изображается линиями уровня, представляющими собой сечения поверхности горизонтальными плоскостями, расположенными на соответствующей данной линии высоте, указываемой обычно около линии уровня цифрами. Поверхность представляет собой совокупность линий уровня, непрерывно расположенных по вертикали или семейство плоских кривых.

С учетом вышесказанного для изучения поверхностей целесообразно использовать функции многих аргументов. В частности, вектор-функции двух скалярных аргументов, к рассмотрению которых мы и приступим.

Вектор-функция двух скалярных аргументов¹ [¹, ²]. В односвязной открытой области D плоскости (u,v) задана вектор-функция r=r(u,v) двух скалярных аргументов u и v, если каждой паре значений (u,v)D поставлен в соответствие вектор r(u,v)E³.

Если, как обычно, вектор-функцию r(u,v) определять ее координатами x(u,v), z(u,v), z(u,v), то все основные свойства скалярных функций многих (двух) переменных можно перенести на эти координаты и тем соответственно на саму вектор-функцию. Напомним эти свойства с учетом векторной специфики.

Анализ векторных функций 2-х скалярных аргументов Предел, непрерывность, частная производная, дифференциал вектор-функции двух скалярных аргументов

Рассмотрим точки (u₀,v₀)D и (u,v)D и расстояние  между ними:

=[(u−u₀)²+(v−v₀)²]^1/2=[(u)²+(v)²]^1/2.

Постоянный вектор a называется пределом вектор-функции r=r(u,v) при (u,v)(u₀,v₀), если для >0,  ()>0 такое, что из неравенства < => |r(u,v)−r(u₀,v₀)|<.

Это определение выражает то, что значения вектор-функции как угодно мало будут отличаться от предела, лишь бы аргументы достаточно мало отличались от тех значений, к которым они устремляются.

Обозначение этого факта:

r(u,v)=a или r(u,v)=a или r(u,v)=a.

Основная теорема о пределах. Пусть r(u,v) и a имеют соответственно координаты (x₁, x₂, x₃) и (a₁, a₂, a₃). Теорема. Для того, чтобы существовал предел r(u,v)=a вектор-функции, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы x_i(u,v)=a_i, (i=1,2,3) ее координат.

Или в символьной форме

r(u,v)=a  x_i(u,v)=a_i, (i=1,2,3).

Эта теорема легко доказывается на основе определения предела, данного выше, аналогично соответствующей теореме для вектор-функции одного скалярного аргумента. Однако не будет нарушением общности или строгости, если ее рассматривать в качестве определения предела, а приведенное определение при необходимости (которая практически не возникает) вывести из него как следствие.

Определение.

Вектор-функция (u,v)=(₁, ₂, ₃) называется бесконечно малой в точке (u₀,v₀), если (u,v)=0.

Другие теоремы.

Для того, чтобы вектор-функция была бесконечно малой в некоторой точке, необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малой был ее модуль в этой же точке. Или в символьной форме

(u,v)=0  |(u,v)|=0, (i=1,2,3).

Далее имеют место теоремы о пределах, аналогичные тем, которые рассматривались для вектор-функции одного скалярного аргумента. Почти все они следуют из приведенной основной теоремы с учетом соответствующих теорем математического анализа для обычных (скалярных) функций многих (двух – в данном рассматриваемом нами случае) переменных. Исключение составляют теоремы о пределе скалярного произведения вектор-функций, которая может быть доказана непосредственно на основе теорем анализа, поскольку скалярное произведение векторов не есть векторная функция, но скалярная.

Непрерывность.

Вектор-функция r(u,v) называется непрерывной в точке (u₀,v₀), если r(u,v)=r(u₀,v₀). Или если из 0  rr(u,v)−r(u₀,v₀) 0. Это означает, как обычно, что функция непрерывна, если бесконечно малым приращениям аргументов отвечает бесконечно малое приращение функции.

Вектор-функция называется непрерывной на области D, если она непрерывна во всех ее точках.

Для того, чтобы вектор-функция была непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы непрерывными были ее координаты.

Частная производная по одной из переменных – это производная по этой переменной при фиксированной второй переменной.

r/ur_u= [r(u+u,v)−r(u,v)](1/u),

r/vr_v= [r(u,v+v)−r(u,v)](1/v).

Здесь использованы общепринятые обозначения:

r/ur_u, r/vr_v.

Для того, чтобы вектор-функция имела частные производные, необходимо и достаточно, чтобы частные производные имели ее координаты.