- •Пермь 2007
- •Рекомендованная литература
- •Контрольные вопросы
- •Параллельный перенос осей координат.
- •Поворот осей координат.
- •Образец задания
- •Пусть уравнение кривой второго порядка имеет вид
- •Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида
- •Дано уравнение кривой
- •Варианты заданий
- •Вариант № 1
Параллельный перенос осей координат.
Даны две системы координат с разными началами и и одинаковыми направлениями осей (рис.1). Обозначим через и координаты произвольной точки соответственно в старой и новой системах координат. Если координаты нового начала в системе , то справедливы формулы преобразования параллельного переноса осей координат
, , или (2)
, .
Рис. 1 Рис. 2
Поворот осей координат.
Даны две системы координат с одинаковым началом и разными направлениями осей. Пусть (рис.2) – угол между и (угол поворота системы координат). Справедливы формулы преобразования поворота осей координат
(3)
,
где координаты произвольной точки в , координаты этой точки в новой системе координат .
Образец задания
Дано уравнение гиперболы в виде . Путем параллельного переноса системы координат привести ее уравнение к виду , указать асимптоты гиперболы, построить соответствующие системы координат и данную гиперболу по уравнению .
Даны уравнения кривых второго порядка :
а) ,
б) .
Требуется по данному уравнению определить, какого типа кривую (эллиптического, гиперболического, параболического) оно представляет, затем следует привести это уравнение к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат, построить соответствующие системы координат и кривую по ее каноническому уравнению.
Дано уравнение кривой второго порядка
.
Требуется привести данное уравнение путем поворота и параллельного переноса системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и данную кривую по ее каноническому уравнению.
а) Дано уравнение кривой в полярных координатах
.
Требуется построить эту кривую по ее полярному уравнению.
б) Дано уравнение кривой в прямоугольных декартовых координатах
.
Записать это уравнение в полярных координатах, а затем построить данную линию по ее полярному уравнению.
Составить уравнение линии, каждая точка которой в два раза ближе к точке , чем к началу координат.
Решение задания 1.
Из школьного курса алгебры известно, что график функции есть гипербола, асимптоты которой параллельны и (см. Привалов, гл.5, §5, п.2). С другой стороны, график функции гипербола, асимптоты которой есть и . Таким образом, взяв за координатные оси асимптоты функции , мы приведем эту функцию к более простому виду (при этом пользуемся формулами преобразования параллельного переноса (2) ). Итак, в системе задана линия уравнением
.(4)
Выполним параллельный перенос системы по формулам (2)
, ,(2)
где координаты нового начала в системе ; координаты произвольной точки в системе ; координаты той же точки в системе .
Воспользовавшись формулами (2), запишем уравнение (4) в виде
.
Умножим обе части этого уравнения на выражение и раскроем скобки, получим
.
Сгруппируем члены, содержащие ,
.(5)
Выберем точку так, чтобы члены, содержащие , обратились в нуль, т.е. положим , откуда координаты нового начала. Подставим эти значения в уравнение (5), имеем , или
. (6)
Уравнение (6) – уравнение равнобочной гиперболы, асимптотами которой являются новые оси координат.
Изобразим обе системы координат и построим данную линию по ее уравнению (6) в системе координат (рис.3)
Рис. 3
Решение задания 2 (см. Привалов, гл.5, §6, п.3)