- •1. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
- •2. Признаки сравнения. Обычный признак сравнения.
- •22.Ряд Фурье в комплексной форме.
- •4. Радикальный признак Коши.
- •5. Интегральный признак Коши.
- •21. Разложение в ряд Фурье непереод. Ф-ций.
- •6. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •7. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •9. Функциональные ряды, область сходимости. Равномерная сходимость.
- •11. Основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •12. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.
- •13. Основные свойства степенных рядов.
- •14. Ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд.
- •18. Нахождение коэффициентов тригонометрического ряда по формулам Фурье.
- •15. Разложение по степеням х функций ех, shx, chx, cosx, sinx.
- •16. Приложения степенных рядов. Приближенное вычисление значений ф-ций. Вычисление сумм числовых рядов.
- •19. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных ф-ций на интервале .
- •20. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на интервале [-l; l].
- •23.Интеграл Фурье.
18. Нахождение коэффициентов тригонометрического ряда по формулам Фурье.
Если n и k – целые числа, то
.
Отметим следующее свойство периодической функции ψ(х) с периодом 2π:
каково бы ни было число λ.
Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ψ(х) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение.
15. Разложение по степеням х функций ех, shx, chx, cosx, sinx.
1.
2.
3.
4.
f(0)=0
5.
.
Разложение по степеням X функций: и (разложение вывести для одной функции)
1) ;
;
;
при X=1 ряд тоже сходится
2) ; .
16. Приложения степенных рядов. Приближенное вычисление значений ф-ций. Вычисление сумм числовых рядов.
Приближенное вычисление значений ф-ций.
- входит в обл. сходимости.
Подставляют
В зависимости от того, с какой точностью требуется вычислить оставляют достаточное число членов этого числового ряда. Достаточное число слагаемых берут из оценки достаточного члена ф-лы Тейлора или ост члена ряда Тейлора. Либо для знакочередуюшегося ряда, используя следствие из признака Лейбница.
Пример: Найти значение с точностью до 0,01
2) Вычисление сумм числовых рядов.
19. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных ф-ций на интервале .
1. Пусть ф-ция f(x) – четная, т. е. f(-x)=f(x).
Значит:
;
;
.
Ряд Фурье для четных ф-ций – ряд только по косинусам
2. Пусть ф-ция f(x) – нечетная, т. е. f(-x)=-f(x).
Значит:
;
;
.
Ряд Фурье для четных ф-ций – ряд только по синусам
20. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на интервале [-l; l].
Пусть f(х) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим ее в ряд Фурье.
Сделаем замену переменной по формуле: .
Тогда функция будет периодической функцией от t с периодом 2π. Ее можно разложить в ряд Фурье на отрезке :
где
Возвратимся теперь к старой переменной х:
Тогда будем иметь:
23.Интеграл Фурье.
Пусть ф-ция f(x) представлена на отрезке (-l;l)
, где
; ;
f(x) абсолютно интегрируема на , тогда * Ф-ция , стоящая в правой части явл. Ф-цией от переменных . Устремим . Можно показать что если ф-ция f(x) кусочно-монотонная и ограничена, то тогда превращается в следующее (при ) -интеграл Фурье.