3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Функция , непрерывная на отрезке [a; b], достигает своих
наибольшего и наименьшего значений либо в точках экстремума, либо на
концах отрезка. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего зна-
чений функции на отрезке нужно:
1) найти критические точки функции, принадлежащие интервалу
(a; b) и ее значения в этих точках;
2) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть найти и ;
3) из значений функции, полученных в 1) и 2) выбрать наибольшее и наименьшее число.
Пример . Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке [−2; 2].
Решение. Найдем критические точки данной функции, принадлежа-
щие интервалу (−2; 2) и ее значения в этих точках.
; ; х1= −1; х2 = 3 ; у(−1) = 15.
Точка х2 = 3 не принадлежит интервалу (−2; 2). Вычислим значения
функции на концах данного отрезка: у(−2) = 8 ; у(2) = − 12.
Сравнивая полученные результаты, имеем: у(2) = −12 – наименьшее
значение; у(−1) =15 − наибольшее значение.
4. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
Определение 1. Кривая называется выпуклой на интервале
(a; b), если дуга кривой расположена ниже любой своей касательной для
этого интервала.
Определение 2. Кривая называется вогнутой на интервале
(а; b), если дуга кривой расположена выше любой своей касательной для
этого интервала.
Точки, отделяющие выпуклую часть кривой от ее вогнутой части на-
зываются точками перегиба кривой.
Теорема 1. (Достаточный признак вогнутости кривой)
Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна во всех точках интервала (a; b), то кривая
вогнута на этом интервале.
Теорема 2. (Достаточный признак выпуклости кривой)
Если вторая производная дважды дифференцируемой функции отрицательна во всех точках интервала (a; b), то кривая выпукла на этом интервале.
Так как точка А(х1; у1) кривой отделяет выпуклую ее часть от вогнутой, то при переходе через точку х1 производная меняет свой знак, поэтому точка х1 является точкой экстремума производной .
Поэтому для нахождения точек перегиба кривой можно воспользоваться признаками, приведенными в 2.
Необходимый признак существования точки перегиба: если х1 есть
абсцисса точки перегиба кривой , то либо не су-
ществует.
Значения аргумента х, при которых вторая производная равна нулю
либо не существует, называются критическими точками второго рода.
Достаточный признак существования точки перегиба: если при пе-
реходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет свой знак, то точка является точкой перегиба кривой
.
Пример. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки пере-
гиба кривой .
Решение. Дважды дифференцируем данную функцию:
; .
Определим критические точки второго рода:
3х2 – 1 = 0; ; .
Точки
и
разбивают область определения функции
на три интервала:
;
;
.
Рис. 7
В первом и третьем интервалах вторая производная положительна, поэтому исследуемая кривая на этих интервалах вогнута; на втором интервале отрицательна, а значит кривая выпукла.
Точки и есть точки перегиба графика данной функции (рис. 7).