Лекция 6.

Тема лекции: Теории вероятностей.

Оглавление:

1. Основные понятия и теоремы.

2. Повторные независимые испытания.

2. 1. Биномиальный закон распределения вероятностей.

2. 2. Локальная теорема Лапласа.

2. 3. Теорема Пуассона.

2. 4. Интегральная теорема Лапласа.

3. Дискретные случайные величины и их характеристики.

4. Непрерывные случайные величины и их характеристики.

5. Закон больших чисел.

Цели лекции: Дать основные понятия и теоремы теории вероятностей, методы изучения случайных величин.

После изучения рассматриваемого материала Вы применять методы теории вероятностей при изучении случайных величин и случайных процессов

Информационные источники.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятнос- тей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2002.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1996.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, Любое издание.

5. Лычкин В.Н.Высшая математика. Учебное пособие. РГАЗУ, 2011.

6. Лычкин В.Н.Высшая математика в задачах. Учебное пособие. РГАЗУ, 2009.

1. Основные понятия и теоремы.

Случайным событием называется такое событие, которое может про-

изойти или не произойти при определенной совокупности условий, назы-

ваемых испытанием. Результат испытания называется исходом.

Случайные события обозначают заглавными буквами латинского ал-

фавита – A, B, C, D,…

Пример. Испытание – доставание шара из ящика, где лежат белые и

черные шары.

Случайное событие – вынутый шар будет белого цвета.

Достоверным событием называется событие D, которое обязательно

произойдет при данном испытании.

Пример. Доставание белого шара из ящика, где лежат только белые

шары – достоверное событие.

Невозможным событием называется событие Н, которое не произой-

дет при данном испытании.

Пример. Доставание черного шара из ящика, где лежат только белые

шары – невозможное событие.

Случайное событие , состоящее в ненаступлении события А, на-

зывается противоположным событию А.

Пример. Испытание – стрельба по мишени. Событие А – попадание

в мишень. Событие − промах.

События А и В называются несовместимыми при данном испытании,

если они не могут наступить при этом испытании совместно.

Пример. Испытание – бросание игральной кости. Событие А – выпа-

дение двух очков, событие В – выпадение трех очков. События А и В – не-

совместимые, так как они не могут появиться совместно при одном под-

брасывании кости.

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на появление другого при данном испытании.

Пример. Испытание – стрельба по цели двумя стрелками. Событие А

− в цель попал первый стрелок; событие В – в цель попал второй стрелок.

Здесь А и В – независимые события.

События образуют полную систему, если они попарно не-

совместимы, но хотя бы одно из них обязательно произойдет.

Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в наступле-

нии хотя бы одного из событий А и В. Обозначение: С = А + В.

Пример. Испытание – стрельба по мишени. Событие А – в цель по-

пал первый стрелок; событие В – в цель попал второй стрелок. Событие

С = А + В − попадание в цель хотя бы одним стрелком.

Произведением случайных событий А и В называется событие С, сос-

тоящее в совместном наступлении событий А и В. Обозначение: С = А•В.

Пример. Испытание – стрельба по мишени. Событие А – в цель по-

пал первый стрелок; событие В – в цель попал второй стрелок. Событие

С = А∙В – попадание в цель обоими стрелками.

Если в результате n испытаний событие А наступает к раз, то отно-

шение называется относительной частотой (частостью) события А.

Если проводится серия испытаний, то предел при последова-

тельности относительных частот называется вероятностью появления со-

бытия А в данном испытании и обозначается буквой р, то есть

.

Подобное определение вероятности называется статистическим,

поскольку оно основано на проведении большого числа испытаний. На

практике вычисляется частость наступления события, она близка к его

вероятности, если число испытаний велико, то есть

.

Пример. При стрельбе по цели из 50 выстрелов оказалось 40 попада-

ний. Какова вероятность попадания в цель при одном выстреле?

Искомая вероятность .

К определению понятия вероятности можно подойти иначе.

Вероятностью наступления случайного события называется отно-

шение числа к равновозможных исходов, благоприятствующих появлению

этого события, к общему числу n равновозможных исходов испытания, то

есть

.

Такое определение вероятности называется классическим.

Пример. Испытание – бросается игральная кость. Какова вероятность

выпадения пяти очков?

Решение.Всего имеется шесть равновозможных исходов при подбра-

сывании кости – выпадение 1, 2. 3. 4. 5. 6 очков. Интересующее нас собы-

тие (выпадение пяти очков) наступает один раз .Тогда искомая вероят-

ность .

Вероятность р(А) наступления события А обладает следующими

свойствами:

1. .

2. p(D) = 1.

3. р(Н) = 0.

Если требуется вычислить вероятность появления события А при

условии, что произошло некоторое событие В, эту вероятность называют

условной вероятностью и обозначают р(А/B).

Пример. Из колоды в 36 карт вынимают подряд две карты. Найти

вероятность того, что второй картой окажется туз, если первая вынутая

карта есть туз.

Решение.Пусть событие А – доставание первым туза; В – доставание вторым туза. При наступлении события А в колоде осталось 35 карт, из которых 3 карты – тузы. Тогда искомая вероятность р(В/А) = .

Теорема умножения вероятностей.

Если события А и В независимы, то

р(АВ) = р(А)∙р(В).

Теорема справедлива для любого конечного числа независимых событий.

Пример. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна

0,7, вторым – 0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка, сделав по одно-

му выстрелу, попадут в цель.

Решение. Пусть событие А – попадание в мишень первым стрелком,

В – вторым стрелком. Поражение мишени обоими стрелками есть событие

А∙В. По теореме умножения вероятностей имеем:

р(АВ) = р(А)∙р(В) = 0,7∙0,8 = 0,56.

Теорема сложения вероятностей.

Если события А и В независимы, то

р(А+В) = р(А) + р(В) – р(А)∙р(В).

При этом, если события А и В несовместимы, то

р(А + В) = р(А) + р(В).

Пример. Найти вероятность того, что при одном подбрасывании иг-

ральной кости выпадет 2 или 3 очка.

Решение. Событие А – выпадение двух очков; событие В – выпадение

трех очков. Выпадение двух или трех очков есть событие А + В. Так как

события А и В – несовместимы, то

р(А + В) = р(А) + р(В) = .

Пример. Вероятность поражения мишени при одном выстреле пер-

вым стрелком равна 0,8, вторым – 0,9. Найти вероятность поражения цели

хотя бы одним стрелком.

Решение. Событие А – попадание в цель первым стрелком; В - вторым

стрелком. Поскольку события А и В – независимы, то

р(А +В) = 0,8 + 0,9 – 0,8∙0,9 = 0,98.

Справедлива следующая теорема:

Если событие В зависит от событий , образующих полную

систему, то .

(1)

Формула (1) называется формулой полной вероятности.

Пример. В магазин для продажи поступает однотипная продукция

трех заводов, 50 % которой поступает с первого завода, 30 % − со второго,

20 % − с третьего. Первый завод поставляет 2 % бракованной продукции,

второй – 3 %, третий – 5 % . Какова вероятность того, что приобретенное в

магазине изделие окажется качественным?

Решение. Пусть событие В − приобретено качественное изделие;

А₁ – изделие поступило с первого завода; А₂ – со второго завода; А₃ – с

третьего завода. События А₁, А₂, А₃ образуют полную систему.

По формуле (1) имеем:

= .