Раздел 7 Векторная алгебра

1. Что называется вектором? Что называется длиной вектора? Какой вектор называется нулевым вектором? Какие векторы называются коллинеарными? Какие векторы называются сонаправленными, противоположно направленными? Какие векторы называются равными?

2. Какой вектор называется суммой двух векторов? Какими свойствами обладает операция сложения двух векторов? Какие практические правила сложения двух векторов Вам известны?

3. Какой вектор называется произведением вектора на число? Какими свойствами обладает операция умножения вектора на число?

4. Сформулируйте и докажите критерий коллинеарности двух векторов на плоскости. Какие векторы на плоскости являются линейно независимыми? Сформулируйте и докажите. Какими свойствами обладают векторы плоскости, исходящие из одной точки?

5. Какие векторы называются компланарными? Сформулируйте и докажите критерий компланарности векторов в . Какими свойствами обладают векторы реального пространства , исходящие из одной точки?

6. Какая система координат в пространстве называется прямоугольной системой координат? Как определяются координаты точки? Какой вектор называется радиус-вектором? Как определяются его координаты? Как вводятся координаты вектора в общем случае? Как выполняются действия над векторами, заданными своими координатами? Выведите формулу, для определения координат вектора, если известны координаты начала и конца вектора.

7. Как определяется угол между векторами? Всегда ли его можно определить однозначно? Что называется скалярной проекцией вектора на ось? Сформулируйте и докажите свойства скалярной проекции на ось. Каков геометрический смысл координат вектора?

8. Что называется скалярным произведением векторов? Сформулируйте и докажите свойства скалярного произведения векторов. Выведите формулу для определения скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические приложения скалярного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности двух векторов.

9. Какая тройка векторов называется правой? Что называется векторным произведением двух векторов? Сформулируйте и докажите свойства векторного произведения векторов. Выведите формулу для определения векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические приложения векторного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и докажите признак коллинеарности двух векторов.

10. Что называется смешанным произведением трех векторов? Сформулируйте и докажите свойства смешанного произведения векторов. Выведите формулу для определения смешанного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические приложения смешанного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и докажите критерий компланарности трех векторов.

Раздел 8 Прямая и плоскость

1. Выведите уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно ненулевому вектору. Выведите уравнение плоскости, проходящей через точку, параллельно двум неколлинеарным векторам. Выведите уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Уравнение какого вида называется общим уравнением плоскости? Каков геометрический смысл коэффициентов данного уравнения? Уравнение какого вида является общим уравнением прямой на плоскости? Какой вектор называется нормальным к плоскости? Какой вектор называется нормальным вектором к прямой на плоскости?

3. Уравнение плоскости какого вида называется уравнением плоскости «в отрезках»? Каков геометрический смысл коэффициентов? Всегда ли от общего уравнения плоскости можно перейти к уравнению плоскости «в отрезках»?

4. Каким может быть взаимное расположение плоскостей в пространстве? Как по коэффициентам в уравнениях плоскостей установить их взаимное расположение? Как определить угол между плоскостями?

5. Выведите уравнение прямой, проходящей через точку, параллельно ненулевому вектору (каноническое и параметрическое) в пространстве. Как будет выглядеть соответствующее уравнение на плоскости? Выведите уравнение прямой, проходящей через две точки (каноническое и параметрическое). Как будет выглядеть соответствующее уравнение на плоскости?

6. Что называется общим уравнением прямой в пространстве? Как от него перейти к каноническому (параметрическому)? Всегда ли две плоскости в пространстве задают прямую?

7. Каким может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве? Как по коэффициентам уравнений, задающих прямые, определить их взаимное расположение? Сформулируйте и докажите признак принадлежности двух прямых одной плоскости. Как определить угол между прямыми?

8. Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве? Как по коэффициентам соответствующих уравнений определить взаимное расположение прямой и плоскости? Как определяется точка пересечения прямой и плоскости? Как определяется расстояние от точки до плоскости? Как определяется расстояние от точки до прямой?