Y

2.Понятие функции. Способы задания функции 2

3.Типы ф-й 2

4.Основные свойства функций. 3

5.Предел ф-ии 4

8.Правило предельного перехода 4

9.Признак существования предела функции. Первый замечательный предел 5

10. Признак существования предела последовательности. Второй замечательный предел 5

11.Непрерывность ф-ии 5

12.Действия над непрерывными ф-ми 6

13.Точки разрыва 6

14. Сравнение бесконечно малых величин 6

15. Сравнение бесконечно больших величин 6

16. Производная и ее геометрический смысл. 7

17.Уравнение касательной и нормали к линии. 8

18. Правила дифференцирования 8

19.Производные сложной и обратной функции 9

20. Производные основных элементарных функций 11

21.Логарифмическое дифференцирование 11

22.Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций 12

23.Производные высших порядков 13

24.Дифференциал функции и его геометрический смысл 16

25. Дифференцируемость функции 18

26. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 19

27. Основные теоремы о дифференцируемых функциях 20

28. Правило Лопиталя 21

29. Интервалы монотонности функции 22

30. Экстремумы функции 22

31. Второй достаточный признак экстремума. 23

32. Наибольшее и наименьшее значение функции в интервале 23

33.Интервалы выпуклости и вогнутости 23

34.Точки перегиба 23

35.Асимптоты графика функции 24

36.Формула Тейлора 24

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 24

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 24

1.Вещественные или Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа. Под абсолютной величиной действ.числа aпонимается неотрицательное число |a|, опр. Условиями: |a| = а, если а >=0, и |a| = -a, если a<0. Для любых действ. Чисел aи bсправедливо неравенство:

|a=b| <= |a| + |b|

2.Понятие функции. Способы задания функции

Переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х поставлено в соответствии по определённому закону единственное значение у.

1. Аналитический способ.

Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у.

2. Графическийспособ.

При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом .

3. Словесный способ.

Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.

«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».

4. Табличныйспособ.

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

3.Типы ф-й

1. Сложная

Сложная функция - это функция от функции

2.Неявная

Неявные функции - это функции, заданные уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной.

3. Обратная

Если уравнение y=f(x) может быть однозначно разрешено относительного переменного x (т.е. сущ. Ф-я x=g(y) такая, что y=f[g(y)]), то ф-я x=g(y) –обратная по отношению к y=f(x).

4.Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).