- •2.Понятие функции. Способы задания функции
- •3.Типы ф-й
- •4.Основные свойства функций.
- •6) Ограниченная и неограниченная функции.
- •7) Периодическость функции.
- •5.Предел ф-ии
- •8.Правило предельного перехода
- •9.Признак существования предела функции. Первый замечательный предел
- •14. Сравнение бесконечно малых величин
- •15. Сравнение бесконечно больших величин
- •16. Производная и ее геометрический смысл.
- •17.Уравнение касательной и нормали к линии.
- •18. Правила дифференцирования
- •19.Производные сложной и обратной функции
- •Доказательство
- •Доказательство
- •20. Производные основных элементарных функций
- •22.Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •23.Производные высших порядков
- •24.Дифференциал функции и его геометрический смысл
- •25. Дифференцируемость функции
- •26. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •27. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •28. Правило Лопиталя
- •29. Интервалы монотонности функции
- •30. Экстремумы функции
- •35.Асимптоты графика функции
- •36.Формула Тейлора
- •Формула тейлора
- •Остаточный член формулы тейлора
20. Производные основных элементарных функций
21.Логарифмическое дифференцирование |
Функция вида y = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у' существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции. Пример. Найти производную функции y = (sinx)x Логарифмируем функцию по основанию е:lny = x lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х, получаем , отсюда или . Рассмотренный прием называется логарифмическим дифференцированием. Он применяется не только для вычисления производных степенно-показательных функций, но и в случаях, когда аналитическое выражение функции содержит несколько множителей.
|
22.Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.
Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
<< Пример 21.1
Найти производную функции у, заданную уравнением х3+у3-3ху=0.
Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х3+у3-3ху=0. Из полученного соотношения
3х2+3у2· у'-3(1· у+х· у')=0
следует, что у2у'-ху'=у-х2, т. е. у'=(у-х2)/(у2-х).
Функция, заданная параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений
где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную у'х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции
Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х=y't•t'x. С учетом равенства (21.2) получаем
Полученная формула позволяет находить производную у'х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.
<< Пример 21.2
Пусть
Найти у'х.
Решение: Имеем x't=3t2, y't=2t. Следовательно, у'х=2t/t2, т. е.
В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.
Действительно, Тогда Отсюда т. е.
23.Производные высших порядков
Производные высших порядков явно заданной функции
Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.
Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"
Итак, у"=(у')'.
Производная от производной второго порядка, если она существует, называетсяпроизводной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:
y(n)=(y(n-1))¢ .
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка).
<< Пример 23.1
Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.
Решение:
Производные высших порядков неявно заданной функции
Пусть функция у=ƒ(х) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.
Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производую от неявной функции. В нее войдут х,у,у¢ . Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.
<< Пример 23.2
Найти у'", если х2+у2=1.
Решение: Дифференцируем уравнение х2+у2-1=0 по х: 2х+2у· у¢ =0.
Отсюда у'=-х/у. Далее имеем:
(так как х2+у2=1), следовательно,
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
Пусть функция у=ƒ(х) задана параметрическими уравнениями
Как известно, первая производная у'х находится по формуле (23.1)
Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что
Аналогично получаем
<< Пример 23.3
Найти вторую производную функции
Решение: По формуле (23.1)
Тогда по формуле (23.2)
Заметим, что найти у"хх можно по преобразованной формуле (23.2):
запоминать которую вряд ли стоит.