Понятие о нечетких множествах
В 1965 г. появилась статья Л. Заде «Fuzzy Sets», которая положила начало теории нечетких множеств (НМ).Основная идея Заде: человеческий способ рассуждений, опирающийся на естественные языки, не может быть описан в рамках традиционных формализмов. Программа Заде состояла в построении новой математической дисциплины, в основе которой лежала бы не классическая теория множеств (чётких множеств), а теория НМ. Тогда можно построить нечеткие аналоги всех основных математических понятий и создать необходимый формальный аппарат для моделирования человеческих рассуждений и человеческого способа решения задач.
Выделяют два основных подхода к формализации нечеткости.
Подход. НМ образуется путем введения обобщенного понятия принадлежности, т.е. расширения множества (0, 1) значений характеристической функции до континуума [0, 1]. Это означает, что переход от полной принадлежности объекта классу (множеству) к полной его непринадлежности происходит не скачком, а плавно, постепенно, причём принадлежность элемента множеству выражается числом из интервала [0, 1]. Таким образом, НМ можно записать в виде
,
где
–
функция принадлежности.
Существует множество операций над НМ, часть которых аналогичны операциям над четкими множествами. Как правило, они описываются через функции принадлежности. Например,
отношение вложения;
дополнение,
произведение,
сумма.
В НМ сохраняются известные свойства операций (рефлексивность, транзитивность и т.д.) и законы (идемпотентности, коммутативности, двойного отрицания, закон де Моргана). Однако для НМ не выполняется закон комплементарности (закон исключения третьего), т.е. справедливы соотношения
.
Рассматривают следующие виды НМ:
Нормальные
НМ, если
.
Субнормальные
НМ, если
.
НМ
уровня
(НМА):
,
т.е. НМА – четкое подмножество
универсального множества Х
(
).
Множество строгого
уровня :
.
Носителем НМА является множество Х,
для элементов которого
.
Чёткое множество А*, ближайшее к НМ, определяется как
Нечеткая
функция –
отображение
,
которое каждому
ставит в соответствие
со степенью
.
При этом может быть или нечеткое Х
или нечеткое Y.
Нечеткая функция определяет нечёткую
поверхность принадлежности в X*Y
(X,
Y –
произвольные множества).
Подход. Всякое НМ можно разложить по множествам уровня (теорема декомпозиции):
,
где
То есть
нечеткость выражается с помощью набора
иерархически упорядоченных чётких
множеств. Следовательно, для конечного
числа n
градаций рассматриваемого свойства n
–нечёткое множество задается через n
–ку обычных множеств
,
где
и
.
Для
бесконечного числа градаций имеем
бесконечное семейство множеств
,
т.е. отображение вида
,
где любому числу (индексу)
ставится в соответствие чёткое
подмножество множества Х.
Тогда размытость моделируется отображением М из класса функций
со свойствами:
а) М(0)=Х; б)
;
и соответствующими операциями над ними.
Связь
между первым и вторым представлениями
НМ устанавливается теоремой представления,
согласно которой классы F(X)
(класс функций первого представления)
и
изоморфны относительно операций
и
.