ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики
(технический университет)”
Подлежит возврату
№
Автоматизированные информационно-управляющие системы
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Для студентов специальности 220201
МОСКВА 2008
Составитель: А.В. Алешин
Редактор Я.М. Ковальчук
Методические указания содержат руководство для выполнения лабораторных работ по курсу " Автоматизированные информационно управляющие системы".
Материал предназначен для студентов 4 курса дневного отделения факультета "Кибернетика" специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах». Методические указания содержат необходимые теоретические сведения и порядок выполнения лабораторных работ по курсу.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.
Рецензенты: профессор а.В. Рощин
профессор О.А. Тягунов
© МИРЭА, 2008
Подписано в печать 00.00.2000. Формат 00x00 1/00.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л.3,5. Усл. кр.-отт. 14,0. Уч.-изд. л. 3,75.
Тираж 000 экз. Заказ 000
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Московский Государственный институт радиотехники,
электроники и автоматики (технический университет)"
119454, Москва, пр. Вернадского, 78
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
Формирование случайной последовательности чисел
с заданным законом распределения
1. Цель работы
Достаточно большое количество задач анализа и синтеза автоматических информационно управляющих систем не могут быть решены относительно простыми аналитическими методами. В частности это задачи надежности, помехоустойчивости, точности функционирования, массового обслуживания и др. Для решения подобных задач целесообразно использовать приёмы имитационного моделирования - метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Метод Монте-Карло, как известно, слагается из трех основных частей. Это, моделирование случайных величин с заданным законом распределения, построение вероятностных моделей реальных процессов или систем и решение задачи статистического оценивания. Целью предлагаемой лабораторной работы является изучение методов получения последовательности случайных величин с заданным законом распределения.
2. Основные положения методов
В данной лабораторной работе для получения последовательности случайных чисел используются два приема: нелинейное преобразование и метод Неймана. Законы распределения в данной лабораторной работе определяются своими числовыми характеристиками: математическим ожиданием, среднеквадратическим отклонением, асимметрией и эксцессом. В дальнейшем в работе используются стандартные распределения (для этих распределений математическое ожидание равно 0, а среднеквадратическое отклонение равно 1). В этом случае закон распределения однозначно определяется по величине асимметрии и эксцесса. Переход к натуральному масштабу осуществляется по формуле:
ξ = m[ξ] + σ[ξ]* ξст
где: ξ – случайная величина с математическим ожиданием m[ξ] и
среднеквадратическим отклонением σ[ξ]
ξст - стандартная случайная величина с математическим ожиданием равным 0, а среднеквадратическим отклонением равным 1.
Выбор типа распределения и вычисление параметров распределения осуществляется в соответствии с алгоритмом приведенным на рис. 1.1.
Рис. 1.1 Алгоритм выбора типа распределения
Приведённые в алгоритме вспомогательные величины d, c0, c1, c2, discr вычисляются по нижеприведённым формулам (1.1, 1.2, 1.3, 1.4).
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
где As – коэффициент асимметрии, Ex – коэффициент эксцесса.
В лабораторной работе используются физически реализуемые распределения типа 1, 2, 3.
Выражение функции плотности вероятности типа 1 (Бета распределение первого рода) приведено в формуле (1.5).
(1.5)
Параметры распределения определяются формулами (1.6, 1.7)
(1.6)
(1.7)
где B(g +1; h +1) – бета – функция первого рода
Выражение функции плотности вероятности типа 2 (Гамма распределение) приведено в формуле (1.8)
(1.8)
Данное распределение является однопараметрическим распределением и его параметры находятся простыми соотношениями через коэффициент асимметрии по формулам (1.9).
(1.9)
Выражение функции плотности вероятности типа 3 известно
под названием «Нормальное распределение» и приведено в формуле (1.10)
(1.10)
Для получения последовательности случайных чисел с заданным законом распределения рассмотренных типов используются два нижеприведённых метода.
Метод нелинейного преобразования основан на использовании обратной функции распределения. Полученная с помощью датчика случайных чисел величина подставляется в процедуру вычисления обратной функции распределения и в результате этого вычисления получается случайная величина с заданным законом распределения. Графическая иллюстрация метода приведена на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Получение последовательности случайных чисел
методом нелинейного преобразования
На рис.1.2 используются следующие обозначения: W(α) – функция плотности вероятности равномерно распределённой случайной величины на интервале [0; 1]; F-1(α) – обратная функция распределения; W(ξ) – заданная функция плотности вероятности; ξ - случайная величина с заданным законом распределения.
Метод получения последовательности случайных использующий метод Неймана реализуется следующим образом: генерируются два числа ξ1 и ξ2 с равномерно распределенной плотностью вероятности в интервале ξ1[X1; X2] и ξ2[0; maxW(x)], если ξ2 <W(ξ1) то ξ1 и есть случайное число с заданной плотностью вероятности W(x).
Рис. 1.3. Алгоритм получения последовательности
случайных чисел методом Неймана
Рис. 1.4.Графическая иллюстрация метода Неймана