1. Матрицы: определение,

виды матриц,

линейные операции с

матрицами.

Матрицей размера m n называется таблица состоящая из m n выражений, которые расставлены в m строк и n столбцов:

Выражения называются элементами матрицы.

Положение элемента в таблице характеризуется двойным индексом; первый индекс i означает номер строки, второй индекс j-номер столбца, на пересечении которых стоит элемент

(m n)-матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой (m n ) - матрицей.

Матрица размера 1 n, состоящая из одной строки, называется матрицей - строкой:

Матрица размера m 1, состоящая из одного столбца, называется матрицей - столбцом: .

Каждая матрица, которая получается из ( m n )- матрицы А вычеркиванием каких-либо строк и столбцов, называется подматрицей матрицы A.

Если в матрице А взаимно переставить местами строки и столбцы, то полученная матрица называется транспонированной к А и обозначается А^Т; она будет иметь размер n m :

= .

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов ( т.е. матрица размера n n ), называется квадратной матрицей порядка n.

Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ матрицы (они стоят в таблице на диагонали квадрата, проходящей из левого верхнего угла в нижний правый); элементы образуют побочную диагональ. Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а остальные равны нулю, называется единичной и обозначается Е:

Е = .

Действия над матрицами.

1) Равенство матрицы

Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы ( элементы, стоящие на одних и тех же местах) равны между собой, т.е. если и

при всех i и j; тогда пишут А=В.

2) Сложение матриц одинакового размера.

Сумма двух матриц А + В одинакового размера есть матрица С того же размера с элементами при всех i и j, т.е. сложение матриц одинакового размера происходит поэлементно.

3) Умножение матриц на действительное число.

Произведение матрицы на действительное число есть матрица т.е. умножение матрицы на действительное число происходит поэлементно.

Свойства сложения и умножения на число.

1. А + В = В + А

2. ( А + В ) + С = А + ( В + С )

3. А + Х = В Х = В - А - разность матриц В и А

4. А + О = О + А = А

5. ( ) А = ( А )

6. ( + ) А = А + А

7. ( А + В ) = А + В

2.Умножение матриц

Матрицы и называют сцепленными в такой последовательности, если n=r , т.е. если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Матрицы А и В могут быть сцепленными, в то время, как матрицы В и А таковыми могут не является. Например, если матрица А размера 2 * 3, а матрица В размера 3 *4 , то матрицы А и В являются сцепленными, в то же время матрицы В и А не являются сцепленными.

Произведение АВ двух сцепленных в такой последовательности матриц есть

матрица , размера ( m * s) , где т.е. элемент, стоящий

в i- ой строке и j- ом столбце матрицы произведения, получается в виде суммы

произведений элементов, стоящих на одинаковых местах в i-ой строке матрицы А и j-ом столбце матрицы В. Таким образом, чтобы получить , мы должны первый элемент i-ой строки матрицы A умножить на первый элемент j-го столбца матрицы В, затем второй элемент i-ой строки матрицы А умножить на второй элемент j-го столбца матрицы В, и т.д., а затем все эти произведения сложить между собой.

В данном примере произведение ВА не определено, т.к. матрицы В и А не являются сцепленными. Если даже существуют оба произведения АВ и ВА, то могут отличаться друг от друга, т.е. в общем случае АВ ВА.

Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными. Существует делитель нуля, т.е. существуют такие ненулевые матрицы, произведение которых есть нулевая матрица, например:

=

Следовательно, из того, что АВ=АС, А 0 в общем случае не следует, что В=С.

Если ,то домножение ее на единичную матрицу, не изменит самой матрицы :

На множестве квадратных матриц одного порядка всегда выполнимы действия сложения и умножения.