3.5. Імітаційне моделювання стохаоичних дискретних процесiв

Імітаційне моделювання широко використовують на різних ета­пах життєвого циклу складної системи : під час проектування — для реалізації параметричного і структурного синтезу, проведення багатоваріантного аналізу; під мас введення в дію для пошуку "вузьких" місць; в період експлуатації — для прогнозування пове­дінки, а також ефекту від можливих варіантів модернізації складо­вої системи. Суть методу імітаційного моделювання полягає в побудові так званої імітаційної моделі досліджуваного об'єкта і в цілеспрямованому експериментуванні з такою моделлю для отри­мання відповідей на ті чи інші запитання. Для здійснення іміта­ційного моделювання можна вибирані найрізноманітніші засоби — від електронних аналогових і цифрових обчислювальних комплексів до аркуша паперу і олівця. Однак коли йдеться про імітаційне моделювання, як правило, розуміють метод, що орієнтований на використання ЕОМ. Це обумовлено тією обставиною, що метод імітаційного моделювання найповніше проявляє свої можливості, коли використовуються саме цифрові обчислювальні машини. В літературі метод імітаційного моделювання зустрічається також під назвою методу цифрового, програмного, статистичного, імовір­нісного, автоматного або динамічного моделювання і методу машинної імітації.

Метод імітаційного моделювання нагадує собою експеримен­тальний метод дослідження об'єктів. Імітаційна модель тут піддається таким самим впливам, як і реальний об'єкт хоча й умовно . Висліди моделювання обробляються і тлумачаться так, ніби вони були даним натурних випробувань. Для дослідження імітаційної моделі можна використовувати добре розвинуті методи планування експериментів та обробки експериментальних даних.

Саме експериментальний характер методу імітаційного моде­лювання обумовлений такі, що імітаційна модель не дає можлива.

ратор взаємодіє з макетними зразками апаратно-програмної частинними інтерфейсу, об'єднаними моделями, що імітують поведінку середовища.

Найбільшого поширення для аналізу і синтезу систем з непе­рервно-дискретним характером функціонування набули моделі, що описуються методами теорії масового обслуговування (ТМО). Про методи ТМО вже йшлося в моделюванні дискретних вироб­ничих процесів (3.4) і діяльності людини-оператора (5.3).

Для побудови моделі системи взаємодії методами ТМО необ­хідно провести низку підготовчих робіт:

1) виявити в системі елементи, що виконують роль апарату обслуговування;

2) визначити характер і параметри вхідного потоку, тобто параметри послідовності замовлень на обслуговування від зовнішнього середовища;

3) визначити характер і параметри кожного пристрою обслу­говування, що входить до складу системи;

4) визначити можливість утворення черг замовлень на обслу­говування і характер дисципліни обслуговування черги;

5) визначити порядок проходження замовлень через пристрої обслуговування, тобто сформувати структуру системи масового обслуговування (CMО). В багатьох випадках вона буде стохастичною мережею CM О;

6) оформити отриману модель графічно і визначити клас СМО, до якого належить побудована модель.

Ці роботи однаково необхідні як для побудови аналітичних, так і імітаційних моделей системи взаємодії. Математичні залеж­ності, що описують процес функціонування моделі СМО, отри­мують в такій послідовності.

Складають певний перелік станів системи s. У довільний момент часу система може знаходитися тільки в одному із станів, які визначаються числом замовлень у системі j,- є s.

Визначають напрям переходу СМО від одного стану до іншо­го і навпаки. Будують граф станів системи і розмічають його. Для цього кожній вершині зі станом Sj ПРИПИСУЮТЬ ІМОВІРНІСТЬ Pj(f)

знаходження системи в цьому стані в момент , а кожній дузі, що з'єднує вершину S/ з вершиною Sj, — інтенсивність потоку λij переходів систем від стану S/ ДО Sj.

Складають диференціальні рівняння відносно ймовірностей />,{/) за розміченим графом станів, їх має бути стільки, скільки існує станів СМО. В лівій частині кожного рівняння ставиться похідна ймовірності стану, а в правій частині — стільки членів, скільки дуг зв’язано з вершиною даного стану. Кожен член у правій частині дорівнює добуткові інтенсивності потоку пере­ходів, що відповідає певній дузі, помноженій на ймовірність того стану, з якого вона виходить. Якщо дуга напрямлена від розглядуваної вершини, то відповідний член має знак мінус, якщо до вершини — знак плюс.

Отримана таким чином система диференціальних рівнянь доповнюється нормувальним рівнянням

, (5.42)

де т — кількість можливих станів СМО — s_m.

Розв'язуючи систему рівнянь, визначають імовірності Pj(f), a за ними — технічні характеристики модельованої системи взаємодії.

В багатьох випадках процес функціонування досліджуваних стохастичних систем має властивості ергатичності. СМО як модель таких АСК характеризується наявністю усталеного режиму в процесі роботи, а для усталеного режиму величини ймовірностей станів P,{f) не залежать від часу ґ

(5.43)

і похідні від них за часом дорівнюють нулю. Такі ймовірності називають у ТМО фінальними. Тоді поведінка СМО описується системою звичайних алгебраїчних рівнянь вигляду:

( 5.44)

або

(5.45)

Рівняння такого типу для фінальних ймовірностей складають­ся за графом стану СМО за простим правилом рівноваги між можливими станами системи і параметрами вхідних потоків та їх обслуговування. Суть рівноваги станів СМО можна сформулювати для аналізованого стану s/ так: сума добутків інтенсивностей пото­ків Kg, що приводять систему до нього від усіх суміжних станів Sj, на ймовірності цих станів дорівнює добуткові ймовірності pj аналізованого стану Sj на суму інтенсивностей усіх потоків, що

виводять з нього.

Як приклад застосування методів ТМО розглянемо модель функціонування системи висмаж,групи операторів з апаратно-програмним комплексом (АПК) АСК [ІЗ]. Завдання для роботи ЛИК формують п операторів. АПК обробляє ці завдання і передає на засоби відображення інформацію, яку вимагає оператор. Після освоєння отриманої інформації оператор формує нове завдання для АПК (рис.5.8,а). Процес іде безперервно — оператори формують управлінські рішення.

Рис. 5.8. Схема взаємодії операторів з АПК (а) і граф станів системи (6)

Кожний оператор на сприйняття інформації, підготовку зали ту до АПК та введення його витрачає в середньому час т_оп. Завдання в цей час знаходиться в пультовій фазі. Кожний опе­ратор задає системі лише одне завдання. Тому інтенсивність пото­ку завдань від одного оператора становить X = і/т_оп.

Одне завдання обробляється в АПК в середньому протягом В цей час завдання перебуває в системній фазі. Стан системи взаємодії визначається числом завдань, що знаходяться в систем­ній фазі. Для п операторів у системній фазі маємо (п + 1) станів системи.

Розглянемо граф переходів (рис.5.8,6) і визначимо інтенсив­ності потоків переходів У кожний момент часу / завдань знахо­дяться в системній фазі, (п -І) — в пультовій. Інтенсивність потоку переходів від стану J, до стану л/^-І спричиняють (п - і) операторів, тому вона становить

(5,46)

Інтенсивність зворотного переходу µ=1/τобс. Розмітивши останніми даними граф станів і переконавшись, що процес функціонування системи ергодичний, запишемо на підставі (5.45) рівняння фінальних ймовірностей для стану s0:

, (5.47)

для стану s1:

,

для стану Si:

(5.49)

Для стану Sn:

(5.50)

Доповнивши цю систему нормувальним рівнянням (5.42)

(5.51)

Знаходимо фінальні ймовірності :

, 0<i<M (5.52)

, (5.53)

M – джерел навантаження

Де s=λ/µ - коефіцієнт відношення фаз.

Знання ймовірностей станів дає змогу визначити низку технічних величин, що характеризують ефективність функціону­вання системи керування в цих умовах. Так, абсолютна пропускна здатність системи взаємодії визначається числом завдань, що розв'язуються в системі за одиницю часу. АПК зайнятий оброби кою запитів з імовірністю

pзан=1-p0. (5.54)

Коли він працює, то обробляє ц завдань за одиницю часу. Тому абсолютна пропускна здатність АПК становить

A= (1-p0)µ. (5.55)

Можна визначити середній час відгуку АПК на запит оператора. с відгуку ajjk на запит опера­тора. Кожний оператор, що знаходиться в пультовій фазі, генерує поїж замовлень з інтенсивністю X. 0 нашій CM О в середньому

в пультовій фазі знаходиться (п - 5) операторів, а в системній __

в середньому со операторів. Середній потік замовлень до АГТК мас інтенсивність (я - S) X. Всі ці замовлення АПК обслуговує.

Тоді

, (5.56)

Звідки

, (5.57)

а середній час відгуку

Знання рі дає змогу обґрунтували технічні вимоги до пара­метрів АПК, виходячи з умов їх якісного функціонування.

Побудова аналітичних моделей системи взаємодії майже заводи пов'язана з низкою істотних обмежень, що значно знижує адекватність моделі відносно реальної системи, Крім цього, не завжди вдається побудувати чи аналітичне дослідити навіть такі наближені моделі. В такому випадку доводиться використовувати методи імітаційного моделювання.