- •1.Основные понятия и факты, связанные с д.У.
- •2.Существование,единственность и приближённое решение задачи Коши.
- •3. Д.У.,описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и др.)
- •4.Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
- •5.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.
- •6.Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.Уравнения Бернулли и Риккати.
- •8.Уравнения в полных дифференциалах.
- •9.Интегрирующий множитель.
- •12.Уравнения Клеро и Лагранжа.
- •13.Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.
- •14.Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.
- •15.Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •16.Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •17.Линейная зависимость функций и вронскиан.
- •18.Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.
- •19.Существование фундаментальной системы решений.
- •20.Формула общего решения линейного однородного уравнения.
- •21.Восстановление линейного однородного уравнения по ф.С.Р.
- •22.Формула Остроградского-Лиувилля.
- •23.Нахождение ф.С.Р. В случае постоянных коэффициентов уравнения.
- •24.Метод Лагранжа для линейных уравнений.
- •25.Метод неопределённых коэффициентов для линейных уравнений.
- •26.Линейные уравнения Эйлера.
- •27.Линейные однородные системы. Линейные системы.
- •29.Метод Лагранжа для линейных систем.
- •30.Метод неопределённых коэффициентов для линейных систем.
- •31.Задачи Коши и краевые задачи для линейных уравнений и систем.
- •32.Голоморфные решения линейных уравнений и систем.
- •33.Устойчивость решений. Система 1-го приближения. Критерий Рауса-Гурвица.
- •34.Фазовая плоскость. Обоснование одной(любой) из фазовых картин.
- •35.Линейные интегральные уравнения 2-го рода. Случай вырожденного ядра.
- •36.Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
1.Основные понятия и факты, связанные с д.У.
ОДУ порядка n, где n _N, называется уравнение вида
х – независимая переменная.
у – зависимая переменная.
у=у(х) – искомая функция.
y', y′′, …, - gпроизводные искомой функции.
F – заданная функция.
Порядок уравнения – порядок старшей производной, которая присутствует в уравнении.
Дифференциальное уравнение -го порядка ― лишь бы была (а все остальное может отсутствовать)
Решить: найти все решения (либо доказать, что их нет).
Решение ― объект, который при подстановке обращает уравнение в истинное
График любого решения ДУ – интегральная кривая - уравнение, разрешенное относительно старшей производной.
у'=f(x,y) – (2) – уравнение первого порядка разрешённое относительно производной.
Решение дифференциального уравнения получено в квадратурах, если оно выражено через элементарные функции посредством конечного числа арифметических операций, операций образования сложной функции и несобственных интегралов, при этом решение может быть функцией, заданной явно, неявно, параметрически, а неопределенные интегралы могут быть неберущимися.
(обычно решить ― решить в квадратурах)
Для решения в квадратурах менять ролями переменные в дифференциальных уравнениях можно (получается неявная функция)
Определение: Начальное условие для уравнения следующее дополнительное условие для его решения: , где ―заданные числа
2.Существование,единственность и приближённое решение задачи Коши.
, -задача коши(решить дифференциальные уравнения с начальными условиями).
Наиболее типично: у задачи Коши единственное решение (но не всегда).
Теорема: Пусть в прямоугольнике является непрерывной функцией .
Пусть , где такое дифференциальное уравнение, что . Тогда по меньшей мере на отрезке единственное решение задачи Коши.
формулы для приближенного решения задачи Коши (в общем случае точной формулы не существует):
, где ―такое число, для которого в прямоугольнике П .
.
3. Д.У.,описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и др.)
Задача о радиоактивном распаде.
―время, ―масса вещества. .
Задача о гармонических колебаниях
4.Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
Графики решений дифференциального уравнения называются его интегральными кривыми. Задача построения интегральной кривой часто решается введением изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и тоже направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения определяется уравнением f(x,y)=k, где k — параметр. Придавая параметру близкие числовые значения, получаем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального yравнения .
5.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.
уравнение с разделенными переменными:
уравнение с разделяющимися переменными:
(следить за пропажей корней)
уравнение вида
―новая функция, зависящая от
4) однородное уравнение:
5) уравнение вида .
единственное решение: ―решение (*)???
.