26.Линейные уравнения Эйлера.

Т.е. ― линейное неоднородное уравнение с особыми .

― важен интервал. Тогда можно разделить на .

Однородное уравнение Эйлера:

Определение: Определяющее уравнение для однородного уравнения

Эйлера ― следующее:

― многочлен степени относительно .

линейного однородного уравнения надо знать фундаментальную систему решений.

Теорема: Для того, чтобы найти фундаментальную систему решений , надо найти корни соответствующего уравнения вместе с их кратностями. Далее каждому корню следует сопоставить функции: , где ― кратность .

Каждой паре комплексных сопряженных корней уравнения следует сопоставить функции

где ― кратность корней .

Фундаментальную систему решений образуют функции, сопоставленные указанным образом всем корням и всем парам корней .

Для решения неоднородных уравнений Эйлера не существует универсальных методов: либо методом Лагранжа, либо неопределенных коэффициентов ― с соответствующими видоизменениями (сначала заменой ― линейное неоднородное уравнение).

27.Линейные однородные системы. Линейные системы.

(1)

?

, ; ; (1’)

Если то (1) называется однородной системой, иначе называется неоднородной.

1.однородные системы

(2)

(3)

Опр: Векторы (3) наз. лин. Зависимыми если существуют такие не все равные нулю, что . Если это равенство справедливо лишь при , то векторы называются лин. не зависимыми.

Опр: фундаментальной системой решений системы (2) наз. совокупность n лин. нез. вект. является ее решениями

Опр: определителем Вронского или вронскианом (3) наз. определитель

обозначение Δ,Δ(x),

Теор1: пусть векторы (3) лин. зав. на I тогда Δ(x)≡0

Теор2: пусть векторы (3) реш. сист. (2) тогда справедливо одно и только одно утв.

А)Δ(x)≡0 (равносильно (3) л.з.)

B) (3) лин. независимо)

Теор3: общее решение (2) имеет вид, где постоянные произведения, действительных - ФСР (2)

28.Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.(n=3)

,

― фундаментальная система решений системы ( ― вектор !)

― общее решение .

Формулы для фундаментальной системы решений разные в зависимости от :

1. Собственные значения . Можно указать три линейно независимых собственных вектора матрицы . Тогда ― собственные значения , соответствующие ( не обязательно различны)

2. Собственные значения . Можно указать три линейно независимых вектора

― собственные векторы , ― присоединенный вектор к собственному вектору . Тогда . , где ― собственные значения, отвечающие соответствующим и .

3. Собственные значения . Можно указать три линейно независимых вектора .

― собственный вектор , ― соответственно 1,2 присоединенные векторы к . Тогда .

― собственное значение, соответствующее .

4. Пусть у существует одно собственное значение , два комплексно сопряженных собственных значения .

― какой-либо собственный вектор, отвечающий .

― какой-либо собственный вектор, отвечающий .

Тогда .

Для реализуется ровно 1 из 4 случаев.