39. Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону.

СВ Х называется распределенной по геометрическому закону с параметром р ( где р€ [0;1]), если она принимает значения 1, 2,3 ...с вероятностями

Р (Х = m)= р(1-р)^m-1 (m = 1,2,3...) р = const

1 2 … m … 1

(X=m)=( ) S= -

P pq … pq^m-1 … q-1

∞ ∞ ∞ ∞ 1

MX= Σ mpq^m-1= p Σ mq ^m-1 = p Σ (q^m)_q = p(Σ q^m) _q =p ( - ) _q =

^{m=1 m=0 m=0 m=0} 1-q

1 p

= p – = - = -

(1-q)² p² p

DX = М(Х²)-(МХ)²

∞ ∞ ∞ ∞

М(Х²)= Σ m²pq ^m-1 = Σ m(m-1+1)pq ^m-1 = Σ m(m-1)p q ^m-1 + Σ p q ^m-1

^{m=0 m=0 m=1 m=1}

∞ ∞ 1 q 1-p

DX= Σ m(m-1)p q ^m-1 + Σ p q ^m-1 - - = - = -

^{m=1 m=1} p² p² p²

40. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по биномиальному, геометрическому закону и закону Пуассона (значения мат. ожидания и дисперсии)

Биноминальный закон

Геометрический закон

=

Закон Пуассона

41. В каких ситуациях на практике возникают биномиальное и геометрическое распределения?

Биномиальное - когда вероятность наступления событий во всех постоянных одинакова (монета Р=1/2).

Геометрическое - до первого появления события А.

42. Предельным законом для какого распределения является распределение Пуассона? Какие значения может принимать случайная величина, распределенная по закону Пуассона?

Распределение Пуассона является предельным законом для распределения Бернулли.

Случайная величина может принимать значения от 0 до3.

43. Плотность распределения и функция распределения равномерной случайной величины, ее числовые характеристики.

Часто встречаются случайные величины, которые могут принимать значения только в строго определенных границах некоторого отрезка [a;b], причем с содержательной точки зрения все значения внутри этого отрезка равновозможны. Например, минутная стрелка остановившихся механических чатов будет показывать какое-то значение; заранее, до поломки, неизвестно, какое именно, но точно известно, что оно будет в пределах от 0 до 60. Погрешность округления также относится к подобным величинам. О таких величинах говорят, что они распределены по равномерному закону на некотором отрезке [a;b].

Более строго, случайная величина Х с функцией распределения

F(x) =

(К данным значениям относятся условия:

- к первому : x<a

- ко второму:a x<b

- к третьему: x b)

Называется распределенной по равномерному закону на отрезке [a;b]. Плотность распределения этой случайной величины получается путем дифференцирования:

f(x) =

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения (^ - местами, где не получилось сделать верхний индекс, этим знаком обозначена степень)

b

MX = = = | =

a b

MX² = = = | = =

a

DX = MX² – (MX)² = - = =

Среднее квадратическое отклонение

σX = =

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

P (α<X<β) = =