Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Общее дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.

Дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида или, разрешенное относительно

. (1)

Задача Коши: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

. (2)

Решением уравнения (1) называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Функция на плоскости изображает кривую, называемую интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения (1) в области называется функция , зависящая от одной произвольной постоянной C, и такая, что выполняются условия:

1) она удовлетворяет уравнению (1) при любых значениях постоянной ;

2)каково бы ни было начальное условие (2), можно подобрать значение постоянной C такое, что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (2). При этом предполагается, что в любой точке выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (1), (2).

1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара). Если правая часть уравнения (1) функция , непрерывная в замкнутой области ( , ), а, значит, ограниченная и удовлетворяет в условию Липшица , где константа Липшица ( ); а и любые две точки из области , то существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2), и это решение определено, непрерывно дифференцируемо в интервале , где и не выходит при этих из области

Доказательство. Заменим задачу Коши (1) с условием (2) эквивалентным интегральным уравнением

. (3)

1) Докажем существование непрерывных решений уравнения (3) применяя метод последовательных приближений Пикара. За нулевое приближение примем функцию

Заменим в (3) переменную нулевым приближением. Полученную функцию возьмем в качестве первого приближения, то есть

. (4)

Аналогично получим и вообще, в качестве -го приближения возьмем функцию, определенную соотношением

, (5)

Таким образом, построена последовательность функций .

Покажем, используя метод математической индукции, что все функции последовательности определены и непрерывны на некотором промежутке и не выходят из замкнутой области , то есть, что

при , (6)

Из (4) следует, что функция определена и непрерывна на всем интервале , так как функция непрерывна на этом интервале, а определенный интеграл, как известно, с переменной верхней границей от непрерывной функции представляет собой непрерывную функцию своей верхней границы на этом же интервале.

Используя формулу , имеем

(7)

Таким образом, если потребовать, чтобы то есть , то функция не покинет области . Поэтому при функция определенна, непрерывна и содержится в области .

Допустим, что такое утверждение имеет место для функции , и покажем, что оно выполняется и для функции .

Согласно с формулой (5), функция определена и непрерывна в интервале (так как в этом интервале определена и непрерывна функция , то определена и непрерывна сложная функция ). Имеем

при . Значит, не выходит из .

Покажем, что последовательность равномерно сходится в интервале .

Рассмотрим ряд

(8)

Его частичные суммы равны так что сходимость этого ряда эквивалентна сходимости последовательности .

Из равенств (5) и (4) находим, что

Отсюда

.

Считая, что и используя условие Липшица, получаем

Допустим, что имеет место оценка

. (9)

Покажем, что тогда

.

Действительно, имеем

.

Отсюда

Так как оценка (9) имеет место для и , то из вышесказанного и метода математической индукции следует ее справедливость при любом . Из (9) имеем

.

Согласно этой формуле можно утверждать, что модули членов ряда (8) не больше соответствующих членов сходящегося ряда с положительными членами: Согласно признаку Вейерштрасса ряд (8) сходится и при том равномерно на промежутке . А значит, по теореме о непрерывности суммы ряда функция , как сумма ряда (8) или предельная функция последовательности , будет непрерывной при .

Покажем, что предельная функция удовлетворяет условию

при (10)

и инегральному уравнению (3).

Действительно, переходя к пределу в неравенстве (6), получим неравенство (10).

Чтобы показать, что предельная функция есть решение (3), отметим, что

(11)

при . Действительно,

Так как сходится равномерно к при , то для любого найдется номер такой, что при выполняется неравенство для всех из интервала . Поэтому

при

Таким образом, соотношение (11) доказано. Переходя в равенстве (5) к пределу при , получим (3). Значит, — непрерывное при решение уравнения (3). Оно представляет собой решение дифференциального уравнения (1) с начальным условием (2), определенное и непрерывно дифференцируемо в интервале .

Докажем теперь, что это решение единственно. Допустим, что существует другое решение , удовлетворяющее тем же условиям (2), определенное и непрерывное в некотром интервале , где , и не выходит при таких из области . Тогда при будем иметь

. (12)

Оценим разность . Используя формулы (6), (12) и условием Липшица, получим

(13)

Из (12) имеем

.

Учитывая это и допуская в (13) , получим

(14)

Допуская в (13) , с учетом (14) получаем

Аналогично, далее получаем

(15)

Правые части неравенства (15) стремятся к нулю при (как общий член сходящегося ряда). Поэтому при Выше было доказано, что при Поэтому при , значит, решение совпадает с решением , что и доказывает его единственность. Теорема доказана.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение

,

где – аргумент, – искомая функция; и – заданные непрерывные в области функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Разделив это уравнение на , сведем его к уравнению с разделенными переменными

, откуда

При таком преобразовании можно потерять решения , где и , где . Эти случаи нужно рассматривать отдельно. Необходимо найти и такие, что , , и проверить, являются ли или решениями исходного уравнения и содержатся ли они в общем интеграле при каком-то значении (соответственно ).

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Функция называется однородной функцией степени , если .

Уравнение вида

называется однородным, если и однородные функции одной и той же степени .

Однородное уравнение может быть приведено к виду

.

С помощью подстановки однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции .

Уравнения вида

при приводятся к однородным подстановкой где – точка пересечения прямых и

Если , то подстановка при или при , приводит данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.