1. Вероятностное описание непрерывных изображений

Случайный процесс F(x,y,t) полностью описывается совместной плотностью вероятности P(F₁, F₂, …, F_j; x₁, y₁, t₁, x₂, y₂, t₂,…, x_j, y_j, t_j) для j значений функции F_j(x_j,y_j,t_j) в точках отсчета x_j,y_j,t_j.

Плотность вероятности первого порядка случайного шума в электронных преобразователях изображений хорошо моделируется гауссовой плотностью:

Плотность вероятности яркости должна быть односторонней, в частности, может использоваться экспоненциальное распределение:

Условная плотность вероятности значения функции F(x,y,t) в точке (x₁,y₁,t₁) при заданном значении этой функции в точке (x₂,y₂,t₂) определяется как

Первый момент, или среднее значение F(x,y,t) равен

Второй момент, или автокорреляционная функция, определяется как

Корреляционная функция отображает степень статической связи м/у значениями функции F в разных точках.

Автоковариационная функция изображения определяется как

Для стационарного процесса F(x,y,t)

Выражение для автокорреляционной функции можно записать в виде

Степень статической связи между точками x1 и x2 зависит только лишь от того, насколько они отстоят друг от друга, как по пространству, так и по времени.

Энергетический спектр стационарного изображения есть результат трехмерного преобразования Фурье его автокорреляционной функции

Можно показать, что в случае стационарности изображения энергетический спектр на выходе линейной пространственно-инвариантной системы определяется как

2. Морфологическая операция заполнения области

4. Билет 1. Дискретизация и квантование изображений.

2. Морфологическая операция выделения связанных компонентов.

1. Дискретизация и квантование изображений

В системах цифровой обработки изображений обычно используются массивы чисел, которые получаются путем дискретизации непрерывных изображений по пространственным переменным, если это одно изображение, а если несколько, то дискретизация по времени.

Пусть F_H(x,y) описывает исходное непрерывное изображение бесконечных размеров. В идеальной системе дискретизации изображений пространственные отсчеты исходного изображения получаются фактически путем перемножения этой функции с пространственно-дискретизирующей функцией(дискретизирующая функция идеальной системы).

состоящей из бесконечного числа дельта-функций, заданных в узлах решетки с шагом (x, y) (рис.1.2).

Спектр дискретного изображения.

Тогда дискретизированное изображение описывается соотношением

Спектр Ф_Н(_x,_y) непрерывного изображения:

Спектр дискретизирующей функции идеальной системы:

Считая спектр исходного изображения ограниченным: Ф_Н(_x,_y)=0 при _x_xc, _y_yc, можно показать, что

Спектр дискретного изображения может быть получен путем свертки спектра непрерывного изображения и спектра дискретизирующей функции. Спектр дискретного изображения представляет собой периодически повторяющуюся функцию (период: ), которая представляет собой сумму спектров непрерывного изображения.

Тогда спектр дискретного процесса будет периодически повторяться:

Если уменьшаем шаг , то спектры будут накладываться друг на друга, следовательно дискретизацию нужно выполнять на больших частотах, чтобы не возникало перекрытие спектра. Эти условия сформулировал академик Котельников.

Спектр дискретного процесса является периодически повторяющимся (частотная хар-ка любой непрерывной системы является периодически повторяющейся).

Спектр дискретного изображения.

Восстановление непрерывного изображения.

Преобразование дискретного изображения в непрерывное: .

Импульсный отклик идеально восстанавливающего фильтра – двумерная sinc-функция:

.

Сечение sinc-функции плоскостью у=0.

Процесс восстановления изображения.

Спектр восстановленного изображения.

Частотная характеристики идеально восстанавливающего фильтра:

Спектр восстановленного изображения:

Если при и , то .

Теорема Котельникова.

Шаг дискретизации не должен превышать половины периода пространственной гармоники, соответствующей самым мелким деталям изображения:

Квантование изображений.

Если b – число двоичных разрядов, то при равномерном коде число уровней L=2^b.

Процесс преобразования отсчетов. Имеющих непрерывное множество значений в отсчеты с дискретным множеством значений, называется квантованием.

В процессе квантования значения отсчета аналогового сигнала сравниваются с набором пороговых уровней. Если отсчет попадает в интервал м/у двумя соседними уровнями, то ему приписывается значение фиксированного уровня квантования (обычно, 2-ичная кодовая комбинация), соответствующего данному интервалу.

Человеческий глаз способен различать от 20-15 градаций значений светлоты, однако он имеет гораздо большую чувствительность светлоты соседних элементов изображения. При уменьшении числа уровней квантования бросается в глаза эффект появления контуров в тех областях, где светлота исходного изображения изменяется плавно.

Появление контуров объясняется скачкообразным изменением светлоты квантованного изображения при переходе одного уровня квантования к другому.Для получения хорошего качества необходимо квантовать изображение не менее чем на 64 уровня (6 двоичных разрядов).