6. Параллельность плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 6.1. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство. Пусть и – данные плоскости, и – прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, и – соответственно параллельные им прямые в плоскости . Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой . По Т 5.1 прямые и , как параллельные прямым и , параллельны плоскости , и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую . Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые ( и ), параллельные прямой . Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию .

Теорема 6.2. Если две параллельных плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны между собой.

Теорема 6.3. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну (без доказательства).

Теорема 6.4. Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Теорема 6.5. Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны.

Теорема 6.6. Если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она параллельна и второй или лежит в ней. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую (без доказательства).

7. Перпендикулярность прямой и плоскости

7.1. Определение

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Теорема 7.1. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Доказательство. Пусть – прямая, перпендикулярная прямым и в плоскости . Причем прямая проходит через точку А пересечения прямых и . Докажем, что .

Проведем произвольную прямую через точку А в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой . Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые , и . Пусть точками пересечения будут В, С и X.

Отложим на прямой от точки А в разные стороны равные отрезки и . Треугольник равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению. По той же причине треугольник тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники и равны по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство углов и и, следовательно, равенство треугольников и по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон и этих треугольников заключаем, что треугольник равнобедренный. Поэтому его медиана является также высотой. А это и значит, что произвольная прямая перпендикулярна , значит по определению .

7.2. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

Следующие несколько терем дают свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

Теорема 7.2. Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они также перпендикулярны (без доказательства).

Теорема 7.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Доказательство. Пусть и – две параллельные прямые и – плоскость, перпендикулярная прямой . Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой .

Проведем в плоскости через точку пересечения прямой с плоскостью произвольную прямую . Проведем в плоскости через точку пересечения прямой с плоскостью произвольную прямую , параллельную прямой .

Так как прямая перпендикулярна плоскости , то прямые и перпендикулярны. А по Т 7.2 параллельные им пересекающиеся прямые и тоже перпендикулярны.

Таким образом, прямая перпендикулярна любой прямой в плоскости , значит .

Теорема 7.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Доказательство. Пусть и – две прямые, перпендикулярные плоскости . Допустим, что прямые и не параллельны.

Выберем на прямой точку С, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую , параллельную прямой . Прямая перпендикулярна плоскости по Т 7.3. Пусть и – точки пересечения прямых и с плоскостью . Тогда прямая перпендикулярна пересекающимся прямым и . А это невозможно, значит пришли к противоречию.

Теорема 7.5. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и второй.

Теорема 7.6. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.