- •Основные понятия теория множеств
- •Операции над множествами
- •Функция, ее область определения, способы задания Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Сложные и обратные функции
- •Предел функции Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •Бесконечно малые функции, их свойства Бесконечно малые величины
- •Связь бесконечно малых величин с пределами функций
- •Свойства бесконечно малых величин
- •Бесконечно большие функции Бесконечно большие величины
- •Свойства бесконечно больших величин
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами
- •Сравнение бесконечно малых функций, их эквивалентность Основные эквивалентности.
- •Основные теоремы о пределах Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
- •Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
- •Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
- •Замечательные пределы Первый замечательные предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Раскрытие неопределенности
- •Непрерывность функции
- •Точки разрыва, их классификация Точки разрыва функции
- •Асимптоты
- •Производная, ее геометрический, физический, экономический смысл экономический смысл производной
- •Физический смысл производной.
- •Определение производной
- •Задача о касательной
- •Правила дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •Производные основных элементарных функций Производные основных элементарных функций (таблица производных)
- •Дифференцирование сложных функций Производная сложной функции
- •Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически
- •Дифференциал функции, его свойства Понятие дифференциала и его геометрический смысл
- •Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Теорема ферма
- •Теоремы роля, коши, Лагранжа
- •Правило лопиталя
- •Признаки монотонности функции Признаки возрастания и убывания функции.
- •Экстремумы(локальные)функции
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
- •Признаки вогнутости и выпуклости графиков, точки перегиба
- •Неопределенный интерграл, свойства Понятие первообразной и неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основная таблица интегралов Некоторые табличные интегралы
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Интегрирование по частям
- •Замена переменной в неопределенном интеграле
- •Интегральная сумма определенный интеграл, его геометрический смысл
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Экономический смысл определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла Свойства определенного интеграла
- •Формула ньютона-лейбница Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям и замена переменной в опр. Интеграле Методы вычисления определенного интеграла
- •Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение
- •Задача коши, теорема сущ. Единственности решения задачи коши Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Линейные уравнения первого порядка Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Дифф. Уравнения высших порядков, их общее и частной решение,задача коши
- •.Линейные диффер. Уравнения н-ого порядка,структура решения
- •Линейные однородные дифф уравнения с постоянными коэф. Метод Эйлера Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Линейные неоднородные диф уравнения с правой частью специального вида. Метод неопр. Коэф
- •Определение функции нескольких переменных, геометрическая интерпретация в возможных случаях предел и непрерывность
- •Частное и полное приращение функции
- •Частные производные Основные понятия. Частные производные
- •Частные производные функции двух переменных
- •Полный дифференциал
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Локальный экстремум
- •Условный экстремум
Задача коши, теорема сущ. Единственности решения задачи коши Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши
Задача. Из статистических данных известно, что для некоторого региона число новорожденных и умерших пропорционально текущей численности населения с коэффициентами пропорциональности и соответственно. Описать протекание демографического процесса во времени (найти закон изменения численности населения с течением времени).
Решение. Пусть - текущая численность населения . За время имеем родившихся и умерших, тогда прирост населения за есть:
, или , где .
Переходя к пределу при , получим ,
- дифференциальное уравнение демографического процесса.
Решая это уравнение, получим: .
Постоянная интегрирования есть численность населения при , т.е. .
Окончательно, имеем .
Определение. Задачей Коши называется задача, в которой для дифференциального уравнения заданы только начальные условия ( и т.д.) и не накладывается никаких граничных условий, (т.е. граница отсутствует).
Пояснение. Для полного описания эволюции какого-либо процесса помимо дифференциального уравнения необходимо, во-первых, задать картину процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия и т.д.) и, во-вторых, задать режим на границе области, где протекает процесс (граничные условия).
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:
, (12.5.1)
или в виде . (12.5.2)
где - некоторые функции переменной ; - функции переменной .
Для нахождения решения (12.5.1) и (12.5.2) преобразовывают таким образом, чтобы функции, зависящие от и были в одной части равенства, а функции, зависящие от и в другой. Затем интегрируем обе части равенства.
(12.5.1) Решение: или |
(12.4.2) |
Пример. Решить уравнение .
Решение. Разделяя переменные, имеем . Проинтегрируем левую и правую часть равенства . Далее имеем .
, Окончательно имеем .
Уравнения вида , где и - некоторые числа, приводятся к уравниваниям с разделяющимися переменными заменой (или , где - некоторое число).
Пример. Решить уравнение .
Решение: Пусть , тогда , откуда , или . Выразим : , и .
Интегрируем: , или , следовательно .
Возвращаемся к первоначальным переменным: или , где .
Линейные уравнения первого порядка Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Дифференциальные уравнения 1-го называется линейным, если оно имеет вид
, (12.7)
где и - некоторые непрерывные функции переменной .
Если уравнение (12.7) называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Решение. а) Если , то однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
б) Если , то для неоднородного уравнения сделаем замену , тогда , и уравнение (12.7) сводится к виду: , или .
Пусть выражение, стоящее в скобках равно нулю, тогда имеем два уравнения с разделяющимися переменными:
Решая сначала первое уравнение из системы, находим какое-либо частное решение , которое подставляем во второе уравнение системы и находим .
Окончательно, имеем решение: .
Пример. Решить уравнение .
Решение. Разделив на исходное уравнение, получим линейное уравнение .
Положим , тогда . .
Найдем частное решение первого уравнения системы (пусть ) .
Рассмотрим второе уравнение из системы:
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения .