- •Лекція № 2-3
- •Питання лекції:
- •1*. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •2*. Повна група подій. Протилежні події
- •3*. Добуток подій. Умовна ймовірність. Теорема множення сумісних подій
- •Є випадок їх сумісного здійснення , якому сприяє подій.
- •4*. Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій. Надійність механізмів, приладів і систем
- •Тоді за теоремами множення і додавання ймовірностей маємо
- •5*. Ймовірність появи хоча б однієї події
- •6*. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
Тоді за теоремами множення і додавання ймовірностей маємо
.
Отже, .
5*. Ймовірність появи хоча б однієї події
Нехай маємо незалежних в сукупності подій і нехай ймовірності цих подій відомі. Необхідно знайти ймовірність появи хоча б однієї події.
Відповідь на це дає наступна теорема.
Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних в сукупності подій дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій.
(2)
Доведення. Позначимо через – події ; .
.
, ;
.
Якщо , , то
(2')
Приклад 17. На підстанції є три блоки приладів. Ймовірність того, що на протязі зміни перший блок не потребує уваги – ; другий – ; третій – . Знайти ймовірність того, що хоча б один блок уваги диспетчера.
Розв’язання.
– подія, блок потребує уваги.
– потребує уваги один прилад.
– потребує уваги два прилади.
– потребує уваги три прилади.
.
6*. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
Якщо події несумісні, то
Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи другої в однім і тим же випробуванні.
Якщо події і сумісні, то справедлива наступна теорема.
Теорема. Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільного здійснення.
(*)
Доведення. Оскільки події і сумісні за умовою, то подія настане, якщо настане одне із наступних трьох несумісних подій:
, або .
За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій
(**)
Подія відбудеться, якщо настане одне з двох несумісних подій: або .
Звідси
()
Аналогічно маємо
()
Підставивши () і () в (* *) отримаємо
Зауваження 1. Якщо події і незалежні, то маємо
.
Якщо події А і В і , то
.
З ауваження 2. Зовсім аналогічно записується теорема для суми подій більших двох.
.
Приклад 18. На заводі ведеться вибраковка деталей, якщо вони мають один або два дефекти. Ймовірність появи одного дефекту – ; появи двох дефектів – . Знайти ймовірність вибраковки деталей.
Розв’язання.
; .
.
Приклад 19. Знайти надійність схеми, якщо надійність кожного елементу . Відмови елементів є незалежними.
Розв’язання.
Надійність 1-го ланцюга ;
Надійність 2-го ланцюга
.
Застосувавши теорему додавання сумісних подій отримаємо
.
П риклад 20. Обчислити надійність схеми, якщо надійність елементів – ; – ; – .
Розв’язання.
;
; ;
.