Лекція № 15, ТЙ, ймовірності процеси, математична статистика, 3 семестр ІТП

Лекція № 15

Тема: Однофакторний дисперсійний аналіз

Питання лекції:

1. Порівняння декількох середніх. Поняття про дисперсійний аналіз.

2. Загальна факторна і залишкова суми квадратів відхилень.

3. Зв’язок між загальною, факторною і залишковою сумами.

4. Загальна, факторна і залишкова дисперсії.

5. Порівняння декількох середніх методом дисперсійного аналізу.

6. Неоднакове число випробувань на різних рівнях.

1*. Порівняння декількох середніх. Поняття про дисперсійний аналіз

Нехай генеральні сукупності розподілені нормально і мають однакову, хоча і невідому, дисперсію; математичні сподівання також невідомі, але можуть бути різними. Потрібно при заданому рівні значущості по вибіркових середніх перевірити нульову гіпотезу про рівність всіх математичних сподівань. Іншими словами, потрібно встановити, значущо або не значущо розрізняються вибіркові середні. Здавалося б, для порівняння декількох середніх можна порівняти їх попарно. Проте зі зростанням числа середніх зростає і найбільша відмінність між ними: середнє нової вибірки може виявитися більше найбільшого або менше якнайменшого з середніх, отриманих до нового іспиту. З цієї причини для порівняння декількох середніх користуються іншим методом, який заснований на порівнянні дисперсій і тому названий дисперсійним аналізом (в основному розвинутий англійським статистиком Р. Фішером).

Дисперсійним аналізом називають статистичний метод вивчення впливу на генеральну сукупність факторів, на основі аналізу відповідних вибіркових дисперсій та планування відповідних експериментів. Суть цього аналізу полягає у розкладанні загальної дисперсії випадкової змінної на незалежні доданки, кожен із яких характеризує вплив деякого фактора, або їх взаємодію. Факторами називаємо, загалом, зовнішні умови, які супроводжують експерименти при формуванні вибірки. Вони можуть змінюватися й під час експериментів, що дає можливість досліджувати їх вплив на результати експериментів. Для проведення дисперсійного аналізу необхідно, щоб результати експериментів були незалежними нормально розподіленими випадковими змінними з однаковою дисперсією. Результати експериментів можна класифікувати та аналізувати методом дисперсійного аналізу за однією ознакою – однофакторний дисперсійний аналіз, двома ознаками – двофакторний дисперсійний аналіз, за трьома ознаками – трифакторний дисперсійний аналіз тощо.

На практиці дисперсійний аналіз застосовують, щоб встановити, чи робить істотний вплив деякий якісний фактор , який має рівнів на величину , що вивчається. Наприклад, якщо вимагається з’ясувати, який вид добрив найбільш ефективний для отримання найбільшого урожаю, то фактор – добрива, а його рівні – види добрив.

Основна ідея дисперсійного аналізу полягає в порівнянні «факторної дисперсії», породжуваної дією фактора, і «залишкової дисперсії», обумовленої випадковими причинами. Якщо відмінність між цими дисперсіями значуща, то фактор робить істотний вплив на ; в цьому випадку середні спостережуваних значень на кожному рівні (групові середні) розрізняються також значимо.

Якщо вже встановлено, що фактор істотно впливає на , а потрібно з’ясувати, якій з рівнів надає найбільша дія, то додатково проводять попарное порівняння середніх.

Іноді дисперсійний аналіз застосовується, щоб встановити однорідність декількох сукупностей (дисперсії цих сукупностей однакові по припущенню; якщо дисперсійний аналіз покаже, що і математичні сподівання однакові, то в цьому значенні сукупності однорідні). Однорідні ж сукупності можна об’єднати в одну і тим самим отримати про неї більш повну інформацію, отже, і більш надійні висновки.

В складніших випадках досліджують дію декількох факторів на декількох постійних або випадкових рівнях і з’ясовують вплив окремих рівнів і їх комбінацій (багатофакторний аналіз).

Ми обмежимося найпростішим випадком однофакторного аналізу, коли на впливає тільки один фактор, який має постійних рівнів.