- •Лекція № 15
- •Питання лекції:
- •1*. Порівняння декількох середніх. Поняття про дисперсійний аналіз
- •2*. Загальна факторна і залишкова суми квадратів відхилень
- •3*. Зв’язок між загальною, факторною і залишковою сумами
- •4*. Загальна, факторна і залишкова дисперсії
- •5*. Порівняння декількох середніх методом дисперсійного аналізу
- •6*. Неоднакове число випробувань на різних рівнях
6*. Неоднакове число випробувань на різних рівнях
Нами передбачалось, що число випробувань на різних рівнях є однаковим. Нехай число випробувань на різних рівнях, взагалі кажучи, різне, а саме: проведено випробувань на рівні , випробувань – на рівні , , випробувань – на рівні . В цьому випадку загальну суму квадратів відхилень знаходять за формулою
,
де – сумма квадратів спостерігаємого значення ознаки на рівні ;
– сумма квадратів спостерігаємого значення ознаки на рівні ;
– сумма квадратів спостерігаємого значення ознаки на рівні ;
, , , – суми значень ознаки, що спостерігалися, відповідно на рівнях , , , ;
– загальне число випробувань (об’єм вибірки).
Якщо для спрощення обчислень з кожного значення , що спостерігалося, віднімали одне і те ж число , то
,
де , , , ; , , , .
Факторну суму квадратів відхилень знаходять за формулою
;
якщо значення ознаки були зменшені , то
.
Решту обчислень проводять, як і у разі однакового числа випробувань:
,
, .
Приклад. Проведено випробувань, з них на першому рівні фактора, – на другому і – на третьому. Результати випробувань приведены в таблиці. Методом дисперсійного аналізу при рівні значущості перевірити нульову гіпотезу про рівність групових середніх. Передбачається, що вибірки витягнуті з нормальних совокупностей з однаковими дисперсіями.
Номер випробування |
Рівні фактора |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Для спрощення розрахунку віднімемо з кожного спостережуваного значення: . Складемо розрахункову таблицю.
Використовуючи таблицю, знайдемо загальну і факторну суми квадратів відхилень:
;
.
Знайдемо залишкову суму квадратів відхилень:
.
Знайдемо факторну і залишкову дисперсії:
;
.
Порівняємо факторну і залишкову дисперсії за критерієь , для чого знайдемо спостережуване значення критерію:
.
Номер випробування |
Рівні фактора |
Підсумковий стовпець |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки – нулевую гіпотезу про рівність групових середніх відкидаємо. Іншими словами, групові середні розрізняються значущо.