Міністерство освіти і науки України

ОДЕСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ ХОЛОДУ

Диханов С.М.

МАТЕМАТИЧНЕ ТА КОМП’ЮТЕРНЕ

МОДЕЛЮВАННЯ В ЕКОЛОГІЇ

Навчальний посібник

Одеса 2009

Диханов С.М. Математичне та комп’ютерне моделювання в екології Навчальний посібник . Одеська державна академія холоду, 2009. – 104 с.

Посібник розроблено згідно з робочою навчальною програмою дисципліни «Математичне та комп’ютерне моделювання в екології моделювання в екології» для студентів спеціальності 070801«Екологія та охорона навколишнього природного середовища» за напрямом підготовки 040106 «Екологія,охорона навколишнього середовища та збалансоване природокористування».

Метою викладання дисципліни є формування у студентів теоретичних знань та практичних навичок у галузі розробки і використання математичних і комп’ютерних моделей при дослідженні процесів антропогенного впливу на навколишнє природне середовище. Наведені зразки комп’ютерних програм і тестових питань для поглибленого опрацювання з посиланнями на літературу, яка є в бібліотеці ОДАХ.

Рецензент: професор, д.х.н. Андріанов А.М.

Завідувач кафедри хімії, охорони навколишнього середовища і раціонального природокористування,

проф. /А.Л.Цикало/

Голова науково-методичної комісії напряму підготовки Екологія,охорона навколишнього середовища та збалансоване природокористування,

проф. /А.Л.Цикало/

З М І С Т

	ВСТУП		4
1	ОСНОВНІ ПРИНЦИПИ МАТЕМАТИЧНОГО І КОМПЮТЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ В СУЧАСНИХ ЕКОЛОГІЧНИХ ДОСЛІДЖЕННЯХ
	1.1	Моделювання як методологія пізнання	6
	1.2	Види моделювання	8
	1.3	Характеристики моделей	13
	1.4	Особливості моделювання в екології	13
	1.5	Значення моделювання в екології	16
2	ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ЗАЛЕЖНОСТІ В ЕКОЛОГІЇ
	2.1	Лінійна функціональна залежність	17
	2.2	Пряма і обернена пропорціональні залежності	19
	2.3	Дробово-лінійна функція. Рівняння Міхаеліса-Ментен	22
	2.4	Степенева функція	24
	2.5	Показникова та логарифмічна функції, їх застосування до опису розмноження популяцій	26
	2.6	Тригонометричні функції та їх застосування до моделювання періодичних процесів	30
3	МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОЛОГІЧНИХ CИСТЕМ ЗА ДОПОМОГОЮ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ
	3.1	Поняття похідної та її застосування до вивчення законів природи, операції диференціювання та інтегрування	39
	3.2	Побудова емпіричних формул, метод найменших квадратів	48
	3.3	Загальні принципи моделювання екологічних процесів за допомогою диференціальних рівнянь, стаціонарні розв'язки та їх стійкість	58
	3.4	Моделювання динаміки чисельності окремих популяцій	66
	3.5	«Жорсткі» та «м'які» математичні моделі динаміки популяцій	73
	3.6	Динаміка біоценозів як наслідок міжвидових взаємовідносин	79
	Додаток 1 Зразки складання програм комп’ютерного моделювання на Borland Pascal		88
	Додаток 2 Зразки тестових питань для самоперевірки		100
	Література		102

ВСТУП

Розв'язання основних проблем екології неможливе без знань основних положень і методів екологічної науки, які створюються і розвиваються на основі сучасної методології, зокрема основних положень системного аналізу, математичних методів і методів математичного та комп’ютерного моделювання.

На сьогодні математичне моделювання – універсальний інструментарій для дослідження екосистем з урахуванням різноманітних чинників і механізмів, що впливають на стан і розвиток тієї чи іншої природної системи.

Такі механізми можуть бути визначені при розгляді функціонування екологічної системи як результат взаємодії її складових елементів і зовнішніх факторів, що позначаються на стані середовища, в якому розглядається ця система.

Загальна методика дослідження екологічних процесів, описуваних складними математичними моделями, - обчислювальний експеримент, тобто розв’язання науково-технічних проблем засобами обчислювальної математики за допомогою комп’ютерної техніці.

У дослідженні процесів екології методом обчислювального експерименту можна виділити такі основні етапи. На першому етапі обґрунтовують фізичну модель явищ, а також формують і вивчають математичну модель, певною мірою адекватну фізичній. Так теоретичне дослідження процесів поширення забруднення в екосистемах базується зазвичай на загальноприйнятих моделях механіки суцільного середовища.

Другий етап обчислювального експерименту полягає в побудові числових методів реалізації сформульованих математичних моделей і розробці обчислювальних алгоритмів.

Заключні етапи обчислювального експерименту – проведення багатоваріантних розрахунків , аналіз результатів і подальше уточнення математичних моделей.

Отже, математичне моделювання екологічних процесів породжує цілий комплекс питань, починаючи з аналізу фізичних особливостей досліджуваних проблем, постановки математичної задачі, розробки аналітичних або числових методів (алгоритмів) її розв’язання, і закінчуючи аналізом та інтерпретацією отриманих результатів.

Саме тому особливе значення має підготовка спеціалістів, здатних на сучасному рівні ставити і розв’язувати за допомогою комп’ютера прикладні задачі екології навколишнього середовища. Адже недаремно Ч. Дарвін писав у автобіографії: «… У наступні роки я не міг собі пробачити цієї нестачі витримки, що не дозволила мені подолати математику хоча б настільки, щоб розібратися в її великих керівних принципах; у людей, що засвоїли ці принципи, одним органом чуття більше, ніж у простих смертних…».

Говорячи про всі переваги методу математичного моделювання, не можна не відзначити, що нерідко відсутність чітких якісних уявлень про досліджувані процеси та явища, про кількісні зв’язки між окремими характеристиками цих процесів (явищ) підміняються наведенням великого числа експериментальних даних, а за теоретичний (модельний) опис видається підібраний емпіричний вираз (одна або кілька формул) без зазначення межі області його застосування. Такий напівемпіричний опис може не мати нічого спільного з реальним процесом (явищем), особливо в тій частині області застосування моделі, яка лежить поза межею адекватності, що й робить побудовану модель малоефективною. Ось чому тільки та математична модель, яка описує суть процесу чи явища, розкриває закономірності їх протікання, і є адекватною в математичному описі окремих характеристик реальної системи. Саме вона дає в руки спеціалісту (досліднику) інструментарій, який дозволяє найоб’єктивніше розв’язувати поставлені завдання і приймати такі рішення, які не повинні викликати жодних сумнівів щодо їх правильності. При всіх найжорсткіших вимогах до моделей ми не повинні забувати, що побудована модель не може бути точнішою, ніж та інформація, що вводиться в модель і використовується при моделюванні.

Особливості математичного моделювання біологічних та екологічних систем полягають у тому, що в основі математичного моделювання процесів біологічного походження лежить уявлення про біологічні системи або екосистеми як такі, для яких справедливі основні закони фізики і хімії. Інакше кажучи, необхідно пам’ятати, що всі ті основні принципи і закони, згідно з якими протікають різні процеси в неживій природі, зберігають свою силу і для живої матерії. Отже, будь – яка математична (імітаційна) модель повинна базуватися на відомих законах збереження речовини, енергії, кількості руху, на законах діючих мас, хімічних і радіоактивних перетворень та ін. Проте знання одних цих законів недостатньо оскільки побудована тільки на цих законах модель буде досить загальною. Для побудови математичних моделей конкретних абіотичних і біотичних процесів, що відбуваються в природних системах, необхідно також знати співвідношення, що визначають потоки речовини та енергії в систему, так і з системи, залежно від стану окремих компонент цієї системи (екосистеми, біотопу, біоценозу) та навколишнього середовища.