- •Часть I
- •© Издательство ИжГту, 2008
- •Элементы векторной алгебры
- •II. Элементы линейной алгебры
- •Аналитическая геометрия
- •Введение в анализ
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Исследование функций и построение графиков
- •Комплексные числа
- •Интегральное исчисление функций одной переменной
- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Элементы векторной алгебры
- •Элементы линейной алгебры
- •Аналитическая геометрия
- •Введение в анализ
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Исследование функций и построение графиков
- •Комплексные числа
- •Интегральное исчисление функций одной переменной
- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Список литературы
- •Часть 1
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Найти производную функции у:
а) у = (1 + 4x2)3;
б) у = sin2x;
в) у = x arcsin(ln x) ;
г) у = x2 e−2x;
д) у = ;
е) у = ln (x + ;
ж) у = xsinx ;
з) у = xlnx;
и) y = ;
к)
л)
м) x3 + y3 = sin(x−2y);
н) =1.
2. Установить правильное соответствие:
a) |
1) |
б) |
2) ; |
в) |
3) – sin x; |
г) |
4) ex; |
д) |
5) ; |
е) |
6) m xm-1; |
ж) |
7) cos x; |
з) |
8) |
и) |
9) − |
к) |
10) |
3. Выбрать правильный ответ.
Уравнение касательной к параболе y2 = 4x в точке M(1;2) имеет вид:
а) y = − x + 3;
б) y = x + 1;
в) y = 2x + 1;
г) y = x +1.
4. Выбрать правильный ответ.
Уравнение нормали к кривой x2 + 2x y2 + 3y4 = 6 в точке В(1; −1) имеет вид:
а) 4x + y – 3 = 0;
б) x – 4y – 5 = 0;
в) 4x – y – 3 = 0;
г) –x – 4y – 5 = 0.
5. Найти дифференциал функции:
а) y = arctg x;
б) y = .
6. Вычислить приближенно, используя дифференциал:
a) ;
б) ln 1,02.
7. Найти дифференциал второго порядка для функций:
а) y =
б) y = .
8. Найти точки, в которых касательная к гиперболе y = параллельна прямой y = − x + 3.
9. Вычислить с применением правила Лопиталя:
a)
б)
в)
г)
10. Найти производную n-го порядка функции y:
а) y = sin x;
б)
Исследование функций и построение графиков
1.Установить правильное соответствие:
а) четная функция; |
1) y = cos 8x; |
б) периодическая функция; |
2) y = x2 + 5x; |
в) нечетная функция; |
3) y = x2 + 2sinx; |
г) функция не является ни четной, ни нечетной. |
4) y = − 5 . |
2. Найти обратную функцию для y = .
3. Какие из следующих функций являются монотонными:
а) y = c;
б) y = arctg x;
в) y = sin2 x;
г) y =
д) y = ;
ж) y = – x2 + 2x.
4. Выбрать правильный ответ.
Вертикальная асимптота графика функции у = :
а) x = 2;
б) y = 2;
в) x = − ;
г) x = – 2.
5. Выбрать правильный ответ.
Наклонная асимптота графика функции у = :
а) y = x + 2;
б) x = – 2;
в) y = x + 4;
г) y = x – 4.
6. В каких из перечисленных точек функция у = возрастает:
а) x = 3;
б) x = 1;
в) x = – 1;
г) x = 0,5.
7. Найти точки перегиба функции y = (x + 1)2(x − 2).
8. Исследовать на экстремум функцию y = (x – 5)ex.
9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 3x – x2 на отрезке [−2;3].
10. Функция f(x) = представлена в виде многочлена пятой степени относительно двучлена x – 1:
= 1+ (x – 1) − 2 + (x – 1)3 − (x – 1)4 + (x – 1)5+ R5,
где R5 = (x – 1)6, 1 < ξ < x. Найти А.