Вопрос 12

Теорема отсчетов.

Рассмотрим случай пространственной дискретизации неподвижного черно-белого изображения. Будем считать, что спектр этого изображения ограничен круговыми пространственными частотами и .

Спектр существует в определенной полосе частот

В таком случае функция яркости:

- количество отсчетов по осям

- периоды разложения спектра

- коэффициент разложения

- интервалы взятия отсчетов на изображении (интервалы пространственной дискретизации в направлениях x и y).

Таким образом, непрерывное изображение с ограниченным спектром кадровых пространственных частот и полностью определяется значениями яркости, взятыми в точках дискретных отсчетов, расположенных в узлах прямоугольной решетки. Такая структура расположения отсчетов называется ортогональной.

Чем больше значение граничных круговых пространственных частот, тем меньше должны быть значения интервалов пространственной дискретизации для того, чтобы обеспечить правильное представление мелких деталей, которые содержат дискретизированное изображение.

Если известна площадь дискритизированного изображения, оно должно быть представлено N отсчетами, чтобы по ним можно было восстановить изображение.

- функция отсчетов

Функция отсчетов обладает следующими свойствами:

1. Во всех точках дискретных отсчетов за исключением одной координаты которой , значения функции равны 0. В точке с дискретными координатами значение функции равно 1.

2. Спектральная интенсивность функции отсчетов постоянна в интервале круговых пространственных частот и равно 0 за его пределами.

В общем случае дискретные отсчеты не обязательно должны располагаться на равных расстояниях друг от друга. Их можно передавать через 1, но в каждой точке, где они передаются кроме значения яркости необходимо передавать также значение ее первой производной либо передавать значения через две точки, но в каждой точке кроме яркости передавать значения первой или второй производной. Главное, чтобы число независимых данных на единицу площади было не меньше, чем:

Актуальна (теорема) для цветных и для динамических изображений.

Вопрос 13

Помеха пространственной дискретизации.

Возникает, если не выполняется условие теоремы отсчетов.

; .

Выделим на изображении К-ую строчку и рассмотрим значение яркости вдоль этой строки.

Рисунок а): зависимость последовательности от номера отсчета. Можно рассматривать как результат амплитудной модуляции периодической последовательности бесконечно тонких импульсов (решетчатых функций).

Рисунок б): функции.

Рисунок в): , учитывая, что периодическая последовательность бесконечно тонких импульсов имеет периодический дискретный спектр – рисунок г).

И принимая во внимание, что амплитудная модуляция последовательности бесконечно тонких импульсов приводит к модуляции каждой из спектральных составляющих, то спектр изображения после пространственной дискретизации выглядит как на рисунке д).

Двумерный спектр дискретизированного изображения, удовлетворяющего условиям теоремы отсчета.

В этом случае спектр дискретизированного изображения включает компоненты спектра исходного изображения, компоненты побочных спектров.

Побочные спектры получаются смещения основного спектра по осям круговых пространственных частот на величины .

Обычно они берутся одинаковыми, и - целые числа.

Чтобы восстановить исходное изображение достаточно выделить посредством фильтрации компоненту исходного спектра. Эту операцию можно осуществить путем свертки дискретизированного изображения с функцией отсчета.

Когда это значит, что частота дискретизации не соответствует теореме отсчетов.

Поскольку не соблюдается теорема отсчетов возникло взаимное перекрытие основного и побочного спектров, вследствие чего побочный спектр стал накладываться на основной, создавая помеху пространственной дискретизации.

Поскольку спектр большинства реальных изображений не ограничен по частотам, то взаимное наложение спектров неизбежно, после чего помеха пространственной дискретизации не может быть отфильтрована.

Проявление помехи пространственной дискретизации на изображение определяется структурой изображения. В случае изображений содержащих много мелких деталей, но не содержащих периодических структур, помеха проявляется в виде хаотически распределенных светлых и темных точек, распределение которых по яркости описывается нормальным законом. Если изображение содержит периодические структуры, на изображении появляется муарный рисунок.

Эта помеха является мультипликативной помехой. Изменение контраста изображения влечет за собой увеличение контрастности помехи, а отношение сигнал-помеха при этом не меняется.

Для того, чтобы избежать этого явления необходимо ограничить спектр изображения со стороны верхних пространственных частот. Один способ: применение специальной оптики.