Интегральное исчисление функций одной переменной

211.-220. Найти неопределенные интегралы.

211. а)  exp(- 8x³)x² dx ; б)  xtg²x dx ; в)  dx/(6x³–7x²–3x) .

212. а)  tg(5x+3) dx ; б)  ln(x²+1) dx ; в)  (x³–1)/(4x³–x) dx .

213. а)  ctg(2x–3) dx ; б)  ln²x dx ; в)  x²/(x³+5x²+8x+4) dx.

214. а)  cos²(1+lnx)/x dx; б)  arcsin²x dx ; в)  (x³+1)/(x³–x²) dx .

215. а)  cos⁴xsin2x dx ; б)  xarctgx dx ; в)  (x² + 1)/(x³+x²–x–1) dx .

216. а) б)  ln³/x² dx ; в)  (x⁴+1)/(x³–x²+x–1) dx .

217. а)  x/(3x + 2) dx ; б) в)  x/(x³ – 3x + 2) dx.

218. а)  e^x/(e^2x + 4) dx ; б)  x∙ln((1 + x)/(1 – x) ) dx ; в)  x/(x³- 1) dx.

219. a)  e ^–x(e^2x–1) dx ; б) ; в)

220. а)  (3x – 1)/(x² + 9) dx ; б)  exp dx ; в)  x²/(x³ + x² +x+1) dx.

221.-230. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

221. 222.

223. 224.

225. 226.

227. 228.

229. 230.

231.-240. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых даны.

231. y = 1/(1 + x²) , y = x²/2. 232. y = x² , y = x³/3 .

233. y = e^x , y = e ^{– x} , x = 1. 234. y² = 2x + 1, x – y – 1 = 0.

235. y² + 8x = 16, y² – 24x = 48 . 236. y = x(x – 1)², y = 0.

237. (y – x – 2)² = 9x, x = 0, y = 0. 238. y = (x² + 2x)e ^{– x}, y = 0.

239. x = y²(y – 1), x = 0. 240. y = x – x^5/2, y = 0.

241.-250. Вычислить длины дуг кривых, заданных следующими уравнениями.

241. y = x²/4 – 0,5lnx, 1  x  2.

242. x = 5(t – sint), y = 5(1 – cost), 0  t  .

243.  = e^, - /2    /2.

244. y = –ln(cosx), 0  x  /6.

245. x = 3(2cost – cos2t), y = 3(2sint – sin2t), 0  t  2.

246.  = 1 – sin, - /2    - /6 .

247. y = ln(x² – 1), 2  x  3.

248. x = 4(cost + t∙sint), y = 4(sint – t cost), 0  t  2.

249.  = 8cos, 0    /4.

250. y = (e^2x+e^-2x+3)/4, 0  x  2.

Дифференциальные уравнения

251.-260. Найти общее решение дифференциального уравнения.

251. xy'-2y = x³e^x. 252. (x+1)y'-2y = (x+1)⁴.

253. x²y'+2xy = cosx. 254. xy'+y = x+1.

255. y'cosx – ysinx = 4x³. 256. y'-ycosx = e^sinx.

257. x² y'+2xy = 1. 258. y'+2xy = 2x exp(-x²).

259. 2xy'-y = 2x^3/2cosx. 260. y'+ytgx = 2xcosx.

261.-270. Найти общее решение дифференциального уравнения.

261. y"y³=1. 262. y"'=(y")³.

263. y" (x-1)-y'=x(x-1)². 264. (1+x²)y"+1+(y')²=0.

265. yy"+(y')²=0. 266. xy"=y'ln(y'/x).

267. (1-x²)y"=xy'. 268. y"x+y'=x².

269. xy"'+y"=1+x. 270. y"=-(x/y').

271.-280. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

271. y"-9y=e^-2x; y(0)=0, y'(0)=0.

272. y"-4y=x-1; y(0)=0, y'(0)=0.

273. y"+2y'+y=cosx; y(0)=0, y'(0)=0.

274. y"+3y'+2y=1+x+x²; y(0)=0, y'(0)=1.

275. y"+2y'+5y=13e^2x; y(0)=1, y'(0)=4.

276. y"+2y'-8y=16x+4; y(0)=2, y'(0)=6.

277. y"+4y'-12y=8sin2x; y(0)=0, y'(0)=0.

278. y"-4y'+13y=26x+5; y(0)=1, y'(0)=0.

279. y"+y=cos3x; y(/2)=4, y'(/2)=1.

280. y"-4y'+3y=e^5x; y(0)=3, y'(0)=9.

281.-290. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения.

281. x₁'+x₁-3x₂=0, x₂'-2x₁=0. 282. x₁'-4x₁+x₂=0, x₂'+2x₁-5x₂=0.

283. x₁'-x₁+2x₂=0, x₂'+3x₁-6x₂=0. 284. x₁'+5x₁+4x₂=0, x₂'+2x₁+3x₂=0.

285. x₁'-6x₁-3x₂=0, x₂'+8x₁+5x₂=0. 286. x₁'-3x₁+2x₂=0, x₂'-2x₁-8x₂=0.

287. x₁'+5x₁+8x₂=0, x₂'+3x₁+3x₂=0. 288. x₁'-x₁+x₂=0, x₂'-x₁-x₂=0.

289. x₁'+4x₁-x₂=0, x₂'+2x₁+x₂=0. 290. x₁'+x₂=0, x₂'+3x₁-2x₂=0.

291. Найти интегральную кривую уравнения y"-k²y=0 (k0), которая касается прямой y-y₀=a(x-x₀) в точке (x₀, y₀).

292. Тело массой m падает с высоты h под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости с коэффициентом k. Начальная скорость тела равна нулю. Найти закон движения тела.

293. Тело массой m скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость v₀. На тело действует сила трения, равная –km. Найти расстояние, которое тело пройдет до полной остановки.

294. Найти интегральную кривую уравнения y"+k²y=0 (k0), касающуюся прямой y-y₀=a(x-x₀) в точке (x₀, y₀).

295. Найти уравнение кривой, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания. Кривая проходит через точку (2;1).

296. Материальная точка массы m перемещается по прямой под влиянием внешней силы F=Asint и восстанавливающей силы. Восстанавливающая сила направлена к началу отсчета перемещений и прямо пропорциональна расстоянию точки от начала отсчета с коэффициентом . Сопротивление среды отсутствует. Определить закон движения материальной точки, если при t=0 она находилась в начале отсчета с нулевой скоростью.

297. Найти уравнение кривой, подкасательная которой имеет постоянную длину a. Кривая проходит через точку (a;e).

298. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;1), если отрезок касательной к кривой, заключенный между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy.

299. Найти уравнение кривой, у которой сумма координат точки касания равна удвоенной подкасательной. Кривая проходит через точку (1;2).

300. Найти интегральную кривую уравнения ysinx=ylny, проходящую через точку .