Самостіна робота №3 з курсу "вища математика"
Тема. Застосування похідної в економічному аналізі
Завдання. 1. Ознайомитися з прикладами задач на застосування похідної функції
в економіці.
2. Розв'язати задачу для самостійного виконання відповідно свого
варіанту.
ТЕОРЕТИЧНА ДОВІДКА
Похідна та її економічний зміст
Означення. Якщо існує границя
,
то її називають похідною
функції
і позначають
або
або
.
Якщо для функції
існує похідна у кожній точці інтервалу
,
то кажуть, що вона диференційована на
цьому інтервалі.
Економічний зміст
Нехай
,
де х – обсяг продукції (незалежна
змінна), а
-
витрати виробництва (функція).
Тоді
називають граничними (маргінальними)
витратами виробництва та позначають
.
Аналогічно визначаються маргінальний
доход
та маргінальний прибуток
Як відомо,
(*) для достатньо малих
.
1. В економіці найчастіше має цілі значення (кількість одиниць продукції,
кількість робітників і т. д.) , тому найменше значення =1 і формула (*)
набуває змісту:
.
Отже, похідна показує наскільки
зміняться витрати виробництва при збільшенні виробництва на одиницю.
2. Якщо
є
залежність попиту Х від ціни р ,
то
дає
наближене збільшення попиту при збільшенні ціни на одну одиницю.
3. Якщо
- суб’єктивна числова оцінка даним
індивідом корисності х
товару для нього, то
дає наближену оцінку додаткової
корисності від
придбання ще однієї одиниці товару.
4. Якщо функція
виражає
обсяг виробленої продукції за часом t
,
тоді
дає продуктивність праці в момент часу
t, а
є швидкість її змінювання і
–
темп змінювання продуктивності праці.
Еластичність функції
В економіці часто важливо знати відповіді на питання:
На скільки % зміниться попит на товар, якщо ціна на нього збільшиться на 1 %;
наскільки % зміниться пропонування товару, якщо ціна на нього збільшиться на 1% і т. д.
Такі питання і відповіді на них приводять до поняття еластичності (elastivity) функції.
Нехай задана функцію
.
і
-
відповідні прирости залежної та
незалежної змінних. Тоді
- відносний приріст незалежної змінної,
- відносний приріст залежної змінної,
а границя
називається еластичністю функції
відносно змінної х і позначається
.
Таким чином,
.
Еластичність функції показує наближений відсотковий приріст функції, що відповідає приросту незалежної змінної на один відсоток.
Нехай
є функцією попиту на деякій товар.
Оскільки попит є спадною функцією ціни
тобто при зростанні ціни кількість
проданої продукції зменшується, то
завжди
.
Якщо еластичність попиту по ціні
,
то підвищенню ціні х на один відсоток
відповідає зниження попиту рівно на
один відсоток. У цьому випадку попит
називають адекватним вартості одиниці
виробу (або нейтральний).
Якщо
,
тоді попит називають еластичним відносно
ціни або доходу. Якщо
,
то попит нееластичним.
Таким чином для функції попиту на деякий товар в залежності від ціни значення показника еластичності дає можливість прогнозувати зміну попиту під впливом зміни ціни.