Задача оподаткування

Головною задачею оподаткування є збирання максимального податку з прибутку фірми. Якщо t – податок з одиниці продукції, тоді прибуток фірми буде: , де - величина податку.

З рівняння знаходимо оптимальну величину податку .

Мінімізація витрат

Витратами називають виражені в грошових одиницях витрати на виробництво продукції чи її витрати обігу ( торгові і транспортні ). Відомо, що повні витрати є сумою постійних і змінних витрат: , де - постійні витрати, - одинично змінні витрати, х – кількість товару. Якщо - сталі, то функція повних витрат буде лінійною.

Середніми витратами називають функцію . Мінімізація середніх витрат дає рівняння для знаходження оптимальної кількості виробленої продукції.

, звідки , або . Отже, виробництво одиниць продукції забезпечує найменші середні витрати.

Приклад 1. Для функції витрат підприємства ( у гривнах )

знайти маргінальну

вартість як функцію х та обчислити маргінальну вартість, коли

вироблено 50 од., 100 од., 150 од. продукції.

Розв’язання.

Для знаходження маргінальної вартості треба знайти похідну

функції витрат, тобто

Одержали функцію маргінальної вартості для довільної кількості виготовлених одиниць продукції, коли приріст х зростає на достатньо малу величину.

При х = 50; 100; 150 одержимо:

(грн.)

(грн.)

(грн.)

Отже, можна казати, що вартість виготовлення 52-ої та 151-ої одиниць продукції підприємства буде 17 грн. 50 коп. (х = 1), а вартість 101-ої одиниці буде лише 10 грн.

Приклад 2. Для функції витрат виробництва х одиниць продукції ( у гривнях )

вигляду знайти маргінальну вартість та

середню вартість виробництва одного виробу підприємства.

Розв’язання

Маргінальна вартість виробництва буде

Середня вартість виготовлення одиниці продукції буде

. Бачимо, що ці величини зовсім різні.

Приклад 3. Визначити маргінальний доход виробництва 300 одиниць виробів,

якщо кількість виготовлених виробів знаходиться зо формулою

, де р - роздрібна вартість одного виробу.

Розв’язання.

Визначимо роздрібну вартість р одиниці виробу як функцію кількості х , виготовлених виробів. Із заданої рівності

.

Функція доходу буде .

Для знаходження маргінального доходу при х = 300 треба знайти значення

при х = 300. .

Маємо .

Приклад 4. Підприємство виготовляє х виробів, роздрібна вартість кожного з них – р, причому , а функція витрат (у грн.)

Знайти маргінальний прибуток, якщо виготовлено та продано 150 і 400 виробів.

Розв’язання

У даному випадку функцією доходу буде

.

Прибуток від виготовлення та продажу х виробів буде

.

Знайдемо маргінальний прибуток для довільного х:

. Тому для х = 150 та х = 400 одержимо: , .

Отже, підприємство буде мати збитки розміром 20 грн. За кожний виріб, який буде виготовлено та продано при зростанні кількості виробів.

Приклад 5. Мале підприємство може виготовити та продати кожну одиницю

виробу з прибутком 10 грн. Якщо підприємство витрачає х грн. На

рекламу виробів, тоді кількість проданих виробів дорівнює

. Знайти швидкість зміни прибутку відносно

зміни витрат на рекламу при х = 1000 та х = 3000.

Розв’язання

Оскільки кожен виріб дає 10 грн. Прибутку, тому задана кількість проданих виробів дає прибуток з урахуванням витрат на рекламу. Швидкість зміни прибутку відносно зміни витрат на рекламу знайдемо шляхом диференціювання Р:

При х = 1000 та х = 3000 маємо ;

.

Отже, при витратах на рекламу 3000 грн. прибутки спадають.

Приклад 6. Нехай валовий продукт деякої держави змінюється з часом t за

формулою П = 100 + t ( мільярдів грн. ), а кількість населення

змінюється за законом P = 120 +2 t ( мільйонів ).

Знайти швидкість зміни частини валового продукту держави, що

припадає на кожного громадянина.

Розв’язання

Позначимо через y(t) частину валового продукту держави, що припадає на кожного громадянина.

Тоді ( тисяч грн.. на одну особу ).

За механічним змістом похідної маємо

Отже, частина валового продукту, що припадає на кожного громадянина з часом зменшується.

Приклад 7. (Аналіз функції витрат )

Якщо V(x) є функцією виробничих витрат (витрати на виготовлення х виробів), то V’(x) дає маргінальну вартість, тобто витрати на досить малу частину виготовлення додаткової продукції. Друга похідна V’’(x) дає швидкість зміни маргінальної вартості відносно зміни кількості випуску продукції.

Наприклад, для функції витрат маргінальна вартість буде , друга похідна має вигляд .

Коли х = 150 маємо ; .

Остання рівність означає, що кожна додаткова одиниця виробленої продукції викликає зростання на 0,3 маргінальної вартості.

Приклад 8. Для функції попиту розрахувати еластичність при

ціні р = 6.

Розв’язання

Еластичність попиту дорівнює

.

При р = 6 .

Оскільки, , то попит є еластичним. При ціні 6 грн. її збільшення на 1% приведе до зниження попиту на 1,5 %.

Приклад 9. Залежність між собівартістю одиниці продукції у ( тис. грош. од.) та

випуском продукції х ( млрд. грош од.)виражається функцією

. Знайти еластичність собівартості за умови

випуску продукції в розмірі 50 млрд. грош. од.

Розв’язання.

Еластичність попиту собівартості .

.

При х = 50 , тобто при виробництві продукції в розмірі 50 млрд. гр. од. збільшення її на 1% приведе до зменшення собівартості на .

Приклад 10. Обсяг продукції u, виготовленої робітником на протязі 8-ми

годинного робочого дня змінюється за законом

( од.).

Знайти продуктивність праці робітника, швидкість та темп її

змінювання за одну годину до закінчення роботи.

Розв’язання. За економічним змістом похідної продуктивність праці є похідною від обсягу виробленої продукції, тому .

Швидкість змінювання є похідною від продуктивності праці або другою похідною від обсягу виробленої продукції

.

Темп змінювання продуктивності праці є логарифмічною похідною від продуктивності праці: ( од./год.).

При t = 7 (за одну годину до закінчення роботи) ( од./год.).

( од./год.).

Отже, за одну годину до закінчення роботі продуктивність праці зменшується, оскільки її швидкість та темп змінювання від’ємні.

Приклад 11. Щоденний обсяг випущеної продукції на підприємстві залежить від

часу t і є функцією . Визначити момент

часу, при якому обсяг випущеної продукції буде найбільшим та

його величину.

Розв’язання

Щоб визначити найбільший обсяг виробленої продукції, треба

дослідити функцію обсягу на максимум.

Знайдемо похідну .

Для знаходження критичної точки прирівняємо її до нуля:

.

+ -

3,75

В критичній точці х = 3,75 похідна змінює знак з ”+” на “-“, тому це точка максимуму.

.

Отже, (од.).

Приклад 12. Функція встановлює залежність рівня транспортних

затрат від тарифу х для першого виду транспорту, а функція

для другого виду.

Обчислити еластичність транспортних затрат для кожного виду

транспорту при х = 0,5. Порівняти та проаналізувати результати.

Розв’язання

Обчислимо еластичність транспортних затрат за формулою

.

Для першого виду транспорту

; .

Для другого:

;

.

Висновок. Для першого виду транспорту при збільшенні тарифу на 1 % транспортні затрати збільшуються на %, а для другого виду на 0,7%. Перший вид транспорту найбільш вигідний.

Приклад 13. Функція попиту q та пропозиції s від ціни p виражаються

відповідно рівняннями .

Знайти: а) ціну рівноваги; б) еластичність попиту та пропозиції

для цієї ціни; в) зміну прибутку ( у відсотках ) при збільшенні ціни

на 7% від рівноважної.

Розв’язання

а) ціну рівноваги знайдемо з умови .

Маємо:

б) Еластичність попиту: ;

.

Еластичність пропозиції:

.

в) При збільшенні ціни на 7% від ціни рівноваги попит зменшиться на

, тому доход збільшиться на 7-4,2 = 2,8 (%).

Висновок. При збільшенні ціни на 1% попит зменшиться на 0,6%, а пропозиція

збільшиться на 0,6%.

Приклад 14. Загальна вартість виготовлення q одиниць продукції визначається

функцією ( грн.).

Скільки одиниць q продукції необхідно випускати, щоб

середня вартість одиниці продукції була мінімальною?

Розв’язання

Середню вартість знайдемо за формулою .

Досліджуємо цю функцію на мінімум. Знайдемо похідну.

.

Знайдемо критичні точки:

- +

В критичній точці похідна змінює знак з “-“ на “+”, тому це точка мінімуму. Оскільки потрібно знайти кількість одиниць продукції, тому .

Визначимо середню вартість одиниці продукції при .

( гр. од.)

Приклад 15. Нехай залежність між собівартістю і випуском задано функцією

. Знайти середні витрати та граничну

собівартість при х = 10 грн.

Розв’язання

Знайдемо середні та граничні собівартості

(грн.), (грн.).

Таким чином, додаткові витрати на виробництво додаткової одиниці продукції дорівнює 38 грн.

Приклад 16. Нехай собівартість виробництва виражається формулою

. Знайти еластичність собівартості при випуску

продукції в кількості х = 10 од.

Розв’язання

Знайдемо еластичність собівартості .

При х = 10 од шукана еластичність складає , тобто при заданому випуску продукції збільшення його на 1 5 приведе до зниження його собівартості на %.

Приклад 17. Нехай для деякої фірми відомі функції доходу та витрат:

, .

Знайти таку кількість виробленої продукції, при якій фірма

отримає максимальний прибуток.

Розв’язання

Утворимо функцію прибутку

і знайдемо похідну .

З рівняння , знайдемо точки підозрілі на екстремум: . Оскільки при переході через функція змінює знак з “+” на “-“ ( , ), то функція в точці має максимум: .

Приклад 18. Відомо, що витрати і прибуток деякої фірми задані функціями

, . Знайти таку величину податку

, при якому сумарний податок буде максимальним.

Розв’язання

Складемо функцію прибутку: , знайдемо її похідну і прирівняємо її до нуля: . Звідки .

Оскільки, максимальне значення податку дорівнює: , тому . З рівняння , знайдемо оптимальну величину податку , що разом з дає рівень оптимального виробництва . Тоді величина максимального прибутку буде: ( гр. од.).

Із співвідношення знаходимо величину найбільшого податку . Зауважимо, що при відсутності податку , ,

. Отже, прибуток при відсутності податку, як і слід було очікувати, буде значно більшим від прибутку при сплаті податку.