Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы 3*3, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Докажем утверждение по индукции по k, где k - число различных собственных значений матрицы.
Для k = 1 очевидно, что собственный вектор v1, отвечающий собственному значению λ1 образует линейно независимую систему, так как собственный вектор по определению не нулевой.
Пусть теперь матрицы 2 различных собственных значения λ1, λ2. Докажем, что система собственных векторов v1, v2, отвечающих указанным собственным значениям - линейно
независима. Предположим, что это не так, тогда ∃α1, α2 : α21 + α22 не= 0:
α1v1 + α2v2 = 0
Применим оператор A к обеим частям уравнения, получим:α1λ1v1 + α2λ2v2 = A(0) = 0
Домножим первое уравнение на λ2 и вычтем из второго, получим: α1v1(λ1 − λ2) + α2v2(λ2 − λ2) = α1v1(λ1 − λ2) = 0
В силу того, что λ1 = λ2 и того, что v1 = 0 по определению, то получаем, что α1 = 0.
Отсюда сразу же вытекает α2 = 0, что по предположениию неверно, а значит для k = 2
мы доказали линейную независимость системы собственных векторов v1, v2 матрицы A.
Аналогично покажем для k = 2.
Пусть теперь матрицы 3 различных собственных значения λ1, λ2, λ3. Докажем что система собственных векторов v1, v2, v3, отвечающих указанным собственным значениям -линейно независима. Предположим, что это не так, тогда ∃α1, α2, α3 : α21 + α22 + α23 не= 0:
α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0
Применим оператор A к обеим частям уравнения, получим: α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = A(0) = 0
Домножим первое уравнение на λ3 и вычтем из второго, получим: α1v1(λ1 − λ3) + α2v2(λ2 − λ3) = 0
В силу того, что система v1, v2 - линейно независима приходим к противоречию.
Итоговое противоречие доказывает утверждение.
Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и ? Ответ обоснуйте.
Пусть
v - собственный вектор матрицы A, отвечающий
собственному значению лямбда. Тогда
Это
означает, что (AT v, v) = лямбда(v, v), а значит
AT v = лямбда v. То есть собственные значения
исобственные вектора матриц A и AT
совпадают.
Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и , где - невырожденная матрица? Ответ обоснуйте.
Пусть v - собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному значению λ. И
пусть v = Cw. Тогда C(λw) = λCw = λv = Av = ACw
Получили: C(λw) = ACw Домножим слева на C−1, получим:λw = C−1ACw
Это означает, что как только v - собственный вектор матрицы A, отвечающий ее собственному значению λ, то λ - собственное значение матрицы C−1AC, которому отвечаетсобственный вектор w = C−1v.
Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.
Собственные значения матрицы A удовлетворяют характеристическому уравнению этой матрицы, то есть det (A - E) = 0.
Пример:
матрица
Тогда
det
(A
-λE)
= det
Получаем, что λ = 1, λ = 3 - собственные значения указанной матрицы.
Докажите, что действительный корень характеристического многочлена матрицы является ее собственным значением.