Здесь же явление переноса!смотрите выше! Вывод уравнения теплопроводности
При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения: 1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ; 2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ; 3) стержень тонкий - это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.
Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:
Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.
Рис. 6
Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С - удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S - площадь поперечного сечения.
Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q1 = -kSUx(x, t)∆t, где k - коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х, а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть Ux < 0. Следовательно, чтобы Q1 был положительным, в формуле стоит знак минус.
Аналогично, тепловой поток через правый конец участка стержня вычисляется по формуле: Q2 = -kSUx(x +∆x,t)∆t. Если предположить, что внутренних источников тепла в стержне нет, и воспользоваться законом сохранения тепла, то получим:
∆Q = Q1 - Q2 => CpS∆x∆U = kSUx(x + ∆х, t) ∆t - kSUx(x, t)∆t.
Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:
так как
Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид
Ut =
a2Uxx,
где 
-
коэффициент температуропроводности.
В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t), получится неоднородное уравнение теплопроводности
Ut =
a2Uxx +
f(x,t),
где 
.
2 Вопрос.
Затухающие
колебания —
колебания, энергия которых уменьшается
с течением времени. Бесконечно длящийся
процесс вида 
в
природе невозможен. Свободные колебания
любого осциллятора рано или поздно
затухают и прекращаются. Поэтому на
практике обычно имеют дело с затухающими
колебаниями. Они характеризуются тем,
что амплитуда колебаний A является
убывающей функцией. Обычно затухание
происходит под действием сил сопротивления
среды, наиболее часто выражаемых линейной
зависимостью от скорости колебаний 
или
её квадрата.
В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.
Модель пружинного маятника. B — механизм, обеспечивающий затухание. F — внешняя сила (в примере не присутствует).
Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).
Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:
где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости
Fc = − cv, Fy = − kx, то есть
ma + cv + kx = 0
или в дифференциальной форме
где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.
Для
упрощения вводятся следующие обозначения: 
Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.
Тогда дифференциальное уравнение принимает вид
Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение
Корни которого вычисляются по следующей формуле
