- •Колебательные процессы
- •1. Пружинный маятник
- •2. Движение математического маятника
- •3. Движение физического маятника
- •4. Свободные колебания в колебательном контуре
- •Ангармонический осциллятор
- •Энергия в колебательных процессах
- •Затухающие колебания
- •Вынужденные колебания. Резонанс
- •Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма
- •Сложение колебаний одинакового направления
Колебательные процессы
Колебанием называется движение, совершаемое с периодическими повторениями. Колебание происходит около равновесного положения тела, системы. Разумеется, речь идет о положении устойчивого равновесия. При отклонении от него система стремится вернуться.
Пружинный маятник, математический маятник, физический маятник. Не ограничиваясь механическим движением, можно говорить о колебаниях электрического тока и других колебательных процессах, охватывающих самый широкий круг физических явлений.
Колебания, совершаемые по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.
(1)
или ,
где x — координата тела; A — амплитуда колебаний (максимальное отклонение); аргумент =t+0 называют фазой колебаний; 0 начальная фаза. В общем случае параметр 0 является произвольной постоянной. Произвол в выборе этого параметра делает равносильными обе формулы.
В силу периодичности тригонометрических функций тело проходит одно и то же положение при изменении фазы на 2, т. е. . Временной промежуток T, соответствующий этому изменению фазы называют периодом колебаний. Увеличение фазы на 2 равносильно увеличению времени на T:
, .
Величина =1/T есть количество колебаний в единицу времени. Она называется частотой колебаний. Коэффициент — называется циклической или угловой частотой колебаний. Угловая частота связана с частотой соотношением: =2.
Дифференцируя (1), найдем скорость тела
(2) ,
ускорение
(3) .
Сопоставляя (1) и (3), получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний
(4) .
Можно сделать заключение. Всякое движение, подчиняющееся уравнению (4) является гармоническим колебанием. Решением данного дифференциального уравнения является функция , зависимости смещения от времени.
Рассмотрим часто встречающиеся колебательные процессы.
1. Пружинный маятник
Составим уравнения колебаний пружинного маятника
или .
Из сопоставления с дифференциальным уравнением (4) видно, что это уравнение гармонических колебаний, если принять .
Тогда параметры колебаний: угловая частота ,
частота ,
период .
2. Движение математического маятника
Грузик подвешен на нити. Грузик будем считать материальной точкой, а нить – невесомой. Тогда вся масса системы сосредоточена в точке расположения грузика. Грузик отклонен от вертикального положения на угол . Длина дуги окружности от грузика до его равновесного положения и является смещением , где l – длина нити.
Возвращающая сила .
Такое приближение возможно при малых углах колебаний.
Иначе говоря, сила связана со смещением так: .
По второму закону динамики , следовательно
или .
.
Получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, если принять . Тогда угловая частота . Найдем параметры: частота , период .
3. Движение физического маятника
Физический маятник имеет — тело, подвешенное на горизонтальной оси, на расстоянии l от его центра масс. Пусть момент инерции тела относительно оси равен J. Тогда вращающий момент силы:
.
По закону динамики вращательного движения . Приравняв правые части этих соотношений и сделав несложные преобразования, придем к дифференциальному уравнению
.
Видно, что это уравнение гармонических колебаний с параметрами
, .
Можно придать выражению периода вид, сходный с выражением для математического маятника
, где — приведенная длина физического маятника.