- •20. Основы метода конечных элементов, этапы решения, матричная форма записи уравнений теории упругости. Функции формы конечного элемента.
- •21. Матрица жесткости конечного элемента. Разрешающие уравнения метода конечных элементов.
- •22. Ползучесть, основы моделей ползучести. Теория старения.
- •23. Теория течения и теория упрочнения модели. Установившаяся ползучесть. Длительная прочность.
- •24. Экспериментальное исследование прочности гтд. Определения. Оценка статической прочности. Оценка динамической прочности.
- •25.Эци. Испытания лопаток, замковых соединений, ободов дисков. Способы измерения деформации. Стратегии управления ресурсом.
- •26. Теория колебаний. Связи. Обобщенные координаты. Виртуальные перемещения. Обобщенные силы. Условия равновесия.
- •27. Уравнения Лагранжа. Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •29. Нормальные координаты и главные колебания.
- •30. Уравнение частот, собственные формы колебаний и их свойства.
27. Уравнения Лагранжа. Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
Для исследования колебательных систем с конечным числом степеней свободы используются уравнения Лагранжа в обобщенных координатах, составленные в предположении о том, что связи, наложенные на систему, идеальны; уравнения не содержат реакций связей; входящие в уравнения величины, определяющие движения системы, непосредственно связаны обобщенными силами.
Для консервативных систем уравнение Лагранжа записывается через потенциальную энергию:
В этом случае энергия характеризует полную механическую энергию системы.
Колебания системы с одной степенью свободы.
Система с одной СС – система, положение которой в пространстве однозначно определяется заданием одной обобщенной координаты. Например математический маятник движется по закону , где начальная фаза, фаза колебаний, амплитуда.
Уравнения малых свободных колебаний системы с одной СС.
Колебания называются свободными, если скорость изменения состояния системы определяется только состоянием самой системы. Такая система – линейный осциллятор.
Система консервативна, уравнение Лагранжа:
Сопротивление среды равно нулю, поэтому
Потенциальная энергия оценивается через жесткость системы: /
Общее решение: .
Подстановка для решения: , ,
Начальные условия для решения:
Свободные колебания при наличии сопротивления.
В этом случае на систему действует сила :
Введем отношение , тогда
28. Колебания системы с конечным числом степеней свободы, приведенная система. Кинематическая и потенциальная энергия малых свободных колебаний. Уравнение малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия.
Детали или механизмы системы на практике являются сложной упругой системой с бесконечным числом степеней свободы. Для определения положения точек при колебаниях в любой момент времени необходимо найти функцию времени и координат точек. При расчетах упругая система заменяется более простой системой с конечным числом степеней свободы – приведенная система.
Кинематическая энергия системы с степеней свободы:
Если выполняется переход к обобщенным координатам:
инерционные коэффициенты.
Для колебаний возле положения устойчивого равновесия разложение коэффициентов в ряд по степеням ограничивается рассмотрением постоянного коэффициента , остальные же не рассматриваются ввиду их малости.
Потенциальная энергия системы может быть выражена через упругие коэффициенты:
Уравнения малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия.
Подставляя в уравнение Лагранжа выражения для кинетической и потенциальной энергий b принимая, что: , можно получить систему дифференциальных уравнений, описывающих колебания системы:
Общее решение данной системы уравнений определяет колебания механической системы.
29. Нормальные координаты и главные колебания.
С помощью линейных преобразований следующего вида:
уравнения КЭ и ПЭ преобразуются:
нормальные координаты системы. В таких координатах уравнение малых колебаний имеет форму:
Решение имеет вид:
из начальных условий.
Ввиду того, что изменение нормальных координат происходит независимо друг от друга, подбирая НУ можно сделать все , кроме одного.
Во время движения системы:
Обобщенные координаты будут изменятся по одному гармоническому закону с одной частотой . Система при этом совершает главные (собственные) колебания. Система с степеней свободы может совершать колебаний со своими главными частотами .
В реальных условиях система совершает сложные колебания, которые представляют собой наложение собственных гармонических колебаний.