Глава 6. Общий случай движения твердого тела

1. Уравнения движения свободного твердого тела

Движе­ние свободного твердого тела можно рассматривать как сложное, состоящее из поступательного движения вместе с некоторой точкой тела, принятой за полюс, и сферического движения вокруг этого полюса. Поступательная часть движения твердого тела определяется движением полюса О (рис. 2.94). Обозначив координаты полюса О в неподвижной системе осей декартовых координат , получим уравнения движения:

Рис. 2.94

Поступательное движение вместе с полюсом и подвижной системой отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета Oxyz называется переносным движением.

Сферическое движение твердого тела можно опре­делить заданием эйлеро­вых углов как функций времени. Определив с помощью этих осей эйлеровы углы , напишем три уравнения сферического движения тела вокруг полюса О:

Сферическое движение, т.е. движение тела относительно подвижной системы отсчета называется относительным.

Таким образом, движение свободного твердого тела определяется шестью уравнениями, называемыми уравнениями движения свободного твердого тела:

Положение свободного твердого тела определяется заданием шести независимых величин: , следовательно, свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы.

Вид трех уравнений, определяющих поступательную часть движения твердого тела, зависит от выбора полюса, так как коорди­наты различных точек тела различны. Вид остальных трех уравнений, определяющих сферическое движе­ние твердого тела вокруг полюса, от выбора полюса не зависит.

6.2. Теорема о скоростях точек свободного твердого тела и ее следствия

Движение свободного твердого тела в общем случае представляет собой сложное движение, которое можно рассматривать как состоя­щее из поступательного движения вместе с полюсом и сферического движения вокруг полюса.

Скорость любой точки свободного твердого тела равна геометрической: сумме стрости полюса , и скорости этой точки в ее сферическом движении вокруг полюса (рис. 2.95).

.

Рис. 2.95

Скорость поступательного переносного движения у всех точек тела равна скорости полюса

.

В относительном движении тело совершает вращение вокруг мгновенной оси , проходящей через полюс О, и скорость любой точки тела в каждый момент времени можно вычислять по формуле

,

где - радиус-вектор точки М, проведенный из полюса О; - угловая скорость вращения тела вокруг точки О или мгновенной оси .

С л е д с т в и е 1. Проекции скоростей точек свободного твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны (рис. 2.96).

Рис. 2.96

или .

С л е д с т в и е 2. Концы скоростей свободного твердого тела, распо­ложенных на отрезке прямой, лежат на одной прямой и делят отрезок этой прямой на части, пропорциональные расстояниям между этими точками.

или ,

т. е. точка B₁ делит отрезок A₁C₁ на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками тела.

С л е д с т в и е 3. Скорости точек сво­бодного твердого тела, расположенных в данный момент на прямой, парал­лельной мгновенной оси, геометрически равны.

Проведем прямую, параллельную мгновенной оси вращения тела, прохо­дящей через полюс О, и определим скорости точек A и B тела, лежащих на этой прямой (рис. 2.97):

Вращательные скорости и равны и параллельны, так как равны и параллельны перпендикуляры АК и BL, опущенные из точек A и B на мгновенную ось.

Рис. 2.97

Стороны параллелограммов, определяющих скорости точек A и B, соответственно равны и параллельны; следовательно, скорости точек А и В геометрически равны, т. е.